Detail předmětu

Matematické struktury v informatice

FIT-MATAk. rok: 2018/2019

Formální teorie, výroková logika, predikátová logika, univerzální algebra, algebraické struktury s jednou a dvěma binárními operacemi, topologické a metrické prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, neorientované grafy, orientované grafy a sítě.

Výsledky učení předmětu

Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur, které jsou nejčastěji využívány v informatice. Jedná se o matematickou logiku, algebru, funkcionální analýzu a teorii grafů. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.

Prerekvizity

Nejsou žádné prerekvizity.

Doporučená nebo povinná literatura

  • Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981
  • Procházka, L.: Algebra, Academia, Praha, 1990
  • Lang, S.: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1990, ISBN 038797279
  • Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X
  • Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691
  • Van der Waerden, B.L.: Algebra I, II, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, Algebra I. ISBN 0387406247, Algebra II. ISBN 0387406255
  • Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290

  • Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307
  • Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562
  • Biggs, N.L.: Discrete Mathematics, Oxford Science Publications, 1999, ISBN 0198534272

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

    Osnova přednášek:
    • Výroková logika, výrokové formule a jejich pravdivost, formální systém výrokové logiky, dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
    • Jazyk predikátové logiky (predikáty, kvantifikátory, termy, formule) a jeho realizace, pravdivost a splňování formulí.
    • Formální systém predikátové logiky 1. řádu, věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti, prenexní tvar formulí. 
    • Univerzální algebry a jejich základní typy: grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, svazy a Booleovy svazy.  
    • Základní algebraické metody: podalgebry, homomorfismy a izomorfismy, kongruence a přímé součiny algeber.
    • Relace kongruence na grupách a okruzích, normální podgrupy a ideály.
    • Okruhy polynomů, dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Eukleidovy okruhy.
    • Teorie polí: minimální pole, rozšíření polí, konečná pole.
    • Metrické prostory, úplnost, normované a Banachovy prostory.
    • Unitární a Hilbertovy prostory, ortogonalita, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady.
    • Stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus), vybarvování uzlů a hran grafu.
    • Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, problém kritické cesty (Dijkstrův a Floyd-Warshallův algoritmus).
    • Sítě, toky a řezy v sítích, problémy maximálního toku a minimálního řezu, cirkulace v sítích.

Cíl

Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle základů univerzální algebry a klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie neorientovaných i orientovaných grafů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Půlsemestrální písemný test.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IT-MGR-2 magisterský navazující

    obor MBS , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MBI , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MIS , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MIN , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MMI , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MMM , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MGM , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MPV , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
    obor MSK , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný