Detail předmětu

Modern Numerical Methods

FEKT-NMNMAk. rok: 2015/2016

Předmět se zabývá vybranými numerickými metodami, které slouží k nalezení numerického řešení úlohy, kterou neumíme a nebo nejsme schopni řešit analyticky. Všechny metody jsou korektně zavedeny a ve většině případů i dokázány. Proto se nejdříve věnujeme teorii chyb, jsou zavedeny pojmy metrika a norma a jejich vztahy. Dále se věnujeme Banachově větě o pevném bodu, která je základem řady numerických metod. Vysvětlení jejího působení se provádí na soustavách lineárních algebraických rovnic. Při výkladu se začíná od finitních metod a až na ně navazují iterační metody řešení. Obdobně postupujeme i při hledání řešení nelineárních rovnic, algebraických rovnic a jejich systémů. Dále se zabýváme vlastními čísly matice a hledáním řešení počáteční a okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy a také pro parciální diferenciální rovnice druhého řádu. U každé numerické metody jsou uvedeny podmínky, které garantují konvergenci metody.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Po absolvování kurzu bude student schopen:
• Pracovat s různými maticovými a vektorovými normami a provádět jejich odhady.
• Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. Rozhodnout o tom, zda je možné daný systém řešit zadanou metodou.
• Najít kořeny nelineárních a algebraických rovnic s požadovanou přesností.
• Řešit soustavy nelineárních rovnic.
• Určit dominantní vlastní číslo matice.
• Najít všechna vlastní čísla matice. Rozhodnout o vhodnosti zadaného postupu při hledání vlastních čísel.
• Najít numerické řešení počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy s požadovanou přesností.
• Najít numerické řešení parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Umět pracovat s hraničními a vnitřními body systému.
• Vysvětlit podstatu metody konečných prvků a umět pomocí ní řešit úlohy na počítači.
• Zvolit vhodnou metodu pro zadaný typ úlohy a odhadnout rychlost konvergence u vybraných metod.
• Určit odhad přesnosti pro některé metody.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia, tj. student musí být schopen pracovat s maticemi a vektory, zvládat výpočet determinantů, součinu matic a výpočet matice inverzní, znát grafy elementárních funkcí a způsoby jejich konstrukce, ovládat derivování a integrování základních funkcí, umět řešit základní typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.

Doporučená nebo povinná literatura

Jin J.: The finite element method in electromagnetics. JOHN-WILEY & SONS, INC. New York 1993.
P.P. Sivester, R.L. Ferrari: Finite Elements for Electrical Engineers, Second Edition, Cambridge University Press, 1990,ISBN 0-471-90677-8
J.D.Lambert: Computational Methods in Ordinary Differential Equations, John Wiley & sons, Londyn, 1973,ISBN 0-471-51194-3
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale: Numerical Methods for Engineers, Fifth edition, McGraw-Hill 2006,ISBN 007-124429-8

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Studenti mohou získat:
až 40 bodů za počítačová cvičení, které mohou získat za písemný test ( max. 10 bodů) a až 30 bodů za zpracování samostatné úlohy (max. 15 bodů za program a max. 15 bodů za prezentaci a protokol),
až 60 bodů za písemnou semestrální zkoušku. Zadání pro zkoušku obsahuje teoretické i početní úlohy, které slouží pro ověření orientace studenta v problematice numerických metod a jejich použitelnosti. Proto se často vyskytují úkoly typu „upravit do konvergenčního tvaru“, bez nutnosti dopočítávat do konce.

Jazyk výuky

angličtina

Osnovy výuky

1. Princip numerických metod, klasifikace a šíření chyb v numerickém procesu, zvyšování přesnosti výpočtu, Banachova věta o pevném bodu.
2. Řešení soustav lineárních rovnic: přehled finitních a iteračních metod řešení.
3. Přehled metod pro řešení nelineárních rovnic.
4. Algebraické rovnice a jejich vlastnosti, odhad polohy kořene, metody určení kořenů algebraických rovnic.
5. Řešení soustav nelineárních rovnic. Newtonova a iterační metoda pro soustavu rovnic.
6. Vlastní čísla. Určení dominantního vlastního čísla.
7. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy, počáteční úloha, jednokrokové a vícekrokové metody řešení, metoda Taylorova rozvoje.
8. Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich řešení.
9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a její řešení metodou konečných diferencí a konečných objemů.
10. Metoda konečných prvků pro obyčejnou diferenciální rovnici.
11. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy, řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
12. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu metodou konečných diferencí.
13. Řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu metodou konečných prvků.

Cíl

Cílem předmětu je rozšířit a prohloubit u studentů základní orientaci v oblasti numerických metod a jejich aplikací pro řešení konkrétních problémů. Proto je velká pozornost věnována odvození některých postupů a metod a ukázkám jednak použití numerických metod a jednak objasnění omezenosti a ohraničenosti použití jednotlivých metod.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Počítačová cvičení jsou povinná. Řádně omluvenou neúčast lze nahradit zpracováním domácí úlohy, která je zaměřena na problematiku probíranou ve zameškaném cvičení.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Termín konání písemného testu je vyhlašován po dohodě se studenty minimálně týden před jeho konáním. Náhradní termín pro řádně omluvené studenty je obvykle v zápočtovém týdnu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program AUDIO-PU magisterský navazující

    obor PU-AUD , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, volitelný mimooborový

  • Program EEKR-MN magisterský navazující

    obor MN-BEI , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-TIT , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-KAM , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-EST , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-MEL , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-SVE , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba
    obor MN-EEN , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, teoretická nadstavba

  • Program AUDIO-PU magisterský navazující

    obor PU-AUD , 2. ročník, letní semestr, 5 kreditů, volitelný mimooborový

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení na poč.

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor