• JobChallenge 2017
  • Události
  • Sem patřím
  • Centrum sportovních aktivit VUT v Brně
  • Výzkumná centra

  • Pravděpodobně máte vypnutý JavaScript. Některé funkce portálu nebudou funkční.

Detail předmětu

Funkcionální analýza I

Kód předmětu: FSI-SU1
Akademický rok: 2016/2017
Typ předmětu: povinný
Typ studia: bakalářský (první cyklus)
Ročník: 2
Semestr: letní
Počet kreditů:
Výsledky učení předmětu:
Znalost základních pojmů metrických, lineárních, normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.
Způsob realizace výuky:
90 % kontaktní výuka, 10 % distančně
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.
Korekvizity:
Není specifikováno.
Doporučené volitelné složky programu:
Není specifikováno.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět se zabývá základními pojmy funkcionální analýzy a jejich ilustrací na konkrétních metrických, normovaných lineárních a unitárních prostorech. Probrána je i Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál. Výsledky jsou využity pro řešení úloh matematické a numerické analýzy.
Doporučená nebo povinná literatura:
F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998.
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003.
Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory: teorie a příklady, PřF MU Brno 2006.
J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014.
D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002.
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, J. Wiley 1978.
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum 1998.
B. Rynne, M. Youngson, Linear functional analysis, Springer 2008.
K. Saxe, Beginning functional analysis, Springer 2002.
A. E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha 1973.
E. Zeidler, Applied functional analysis: Main principles and their applications, Springer, 1995.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Jazyk výuky:
čeština
Pracovní stáže:
Není specifikováno.
Osnovy výuky:
1. Metrický prostor - základní pojmy, některé podmnožiny, separabilní metrické prostory, konvergence, úplné metrické prostory, kompaktnost, kompaktní množiny v některých speciálních prostorech.
2. Míra a integrál - Lebesqueova míra, měřitelné funkce, Lebesgueův integrál, věty o limitním přechodu.
3. Lineární prostor - defnice a příklady, normovaný prostor, unitární prostor, Besselova nerovnost, Riesz-Fischerova věta, Hilbertův prostor, charakteristická vlastnost unitárních prostorů.
4. Funkcionály - geometrický význam lineárního funkcionálu, konvexní množiny, konvexní funkcionály, Hahn-Banachova věta, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta v normovaném prostoru.
5. Adjungovaný prostor - prostor adjungovaný k Hilbertovu prostoru, druhý adjungovaný prostor, slabá konvergence, Banach-Steinhausova věta, slabá konvergence a ohraničené množiny v adjungovaném prostoru.
Cíl:
Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Typ (způsob) výuky:

Přednáška: 26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.
Osnova: 1. Metrický prostor - základní pojmy, některé podmnožiny, separabilní metrické prostory, konvergence, úplné metrické prostory, kompaktnost, kompaktní množiny v některých speciálních prostorech.
2. Míra a integrál - Lebesqueova míra, měřitelné funkce, Lebesgueův integrál, věty o limitním přechodu.
3. Lineární prostor - defnice a příklady, normovaný prostor, unitární prostor, Besselova nerovnost, Riesz-Fischerova věta, Hilbertův prostor, charakteristická vlastnost unitárních prostorů.
4. Funkcionály - geometrický význam lineárního funkcionálu, konvexní množiny, konvexní funkcionály, Hahn-Banachova věta, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta v normovaném prostoru.
5. Adjungovaný prostor - prostor adjungovaný k Hilbertovu prostoru, druhý adjungovaný prostor, slabá konvergence, Banach-Steinhausova věta, slabá konvergence a ohraničené množiny v adjungovaném prostoru.
Cvičení: 26 hod., povinná
Vyučující / Lektor: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.
Osnova: Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.

Zařazení předmětu ve studijních programech