• Události
  • Sem patřím
  • Centrum sportovních aktivit VUT v Brně
  • Výzkumná centra
  • Zvut.cz

  • Pravděpodobně máte vypnutý JavaScript. Některé funkce portálu nebudou funkční.

Detail předmětu

Parciální diferenciální rovnice

Kód předmětu: FSI-SPD
Akademický rok: 2016/2017
Typ předmětu: povinný
Typ studia: bakalářský (první cyklus)
Ročník: 3
Semestr: zimní
Počet kreditů:
Výsledky učení předmětu:
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.
Způsob realizace výuky:
90 % kontaktní výuka, 10 % distančně
Prerekvizity:
Řešení algebraických rovnic a soustav lineárních rovnic, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice.
Korekvizity:
Není specifikováno.
Doporučené volitelné složky programu:
Není specifikováno.
Obsah předmětu (anotace):
Obsah předmětu je následující: Obyčejné diferenciální rovnice - stručné opakování látky z 3. semestru a její doplnění (stabilita řešení, autonomní rovnice a systémy, okrajové úlohy a trajektorie).
Parciální diferenciální rovnice - základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky, formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.
Doporučená nebo povinná literatura:
V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977
J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta FSI VUT, CERM 2011
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence 1998
V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.
W. E. Williams: Partial differential equations,
K. Rektorys: Přehled užité matematiky II., Prometheus 1995
J. Škrášek, Z. Tichý: Základy aplikované matematiky II, SNTL, Praha 1986
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních a úspěšné napsání dvou kontrolních prací:
Písemka 1: příklady z ODR: (a) řešení rovnice 1. řádu, (b) řešení lineární rovnice 2. řádu (c) řešení soustavy 2 rovnic 1. řádu.
Písemka 2: příklady z PDR: (a) řešení kvazilineární rovnice 1. řádu, (b) klasifikace a převod na kanonický tvar rovnice 2. řádu. (c) Formulace počáteční okrajové úlohy z fyzikálního zadání, převod na homogenní úlohu a její řešení Fourierovou metodou řad).
Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: příklady z PDR - viz písemka 2. Teoretická část: 1 otázka z látky ODR a 3 otázky z látky PDR.
Jazyk výuky:
čeština
Pracovní stáže:
Není specifikováno.
Osnovy výuky:
Není specifikováno.
Cíl:
Cílem kurzu je po doplnění znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic seznámit posluchače s parciálními diferenciálními rovnicemi, jejich základními vlastnostmi a jejich použitím v matematickém modelování, naučit formulovat počáteční a okrajové úlohy modelující vybrané konkrétní fyzikální situace. Dalším cílem je seznámit studenty s klasickými metodami řešení a naučit řešit jednoduché úlohy pro rovnice matematické fyziky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript. Nutné úspěšné absolvování písemných prací; v případě špatného výsledku nebo absence v náhradním termínu.

Typ (způsob) výuky:
Přednáška: 26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.
Osnova: 1. Opakování látky z ODR - rovnice 1. řádu a lineární rovnice vyšších řádů.
2. Soustavy lineárních ODR, stabilita řešení, existence a jednoznačnost řešení.
3. Autonomní systémy, trajektorie, klasifikace singulárních trajektorií.
4. Základní pojmy z PDR, rovnice 1. řádu.
5. Cauchyova úloha, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Odvození vybraných rovnic matematické fyziky, rovnice vedení tepla.
7. Odvození rovnice kmitání struny, vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrany z variačního principu.
9. Metoda charakteristik pro vlnovou rovnici.
10. Fourierova metoda řad.
11. Metoda integrální transformace.
12. Metoda Greenovy funkce a principy maxima.
13. Vlastnosti řešení, rezerva.
Cvičení: 26 hod., povinná
Vyučující / Lektor: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.
Osnova: 1. ODR, řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic vyšších řádů.
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.

Zařazení předmětu ve studijních programech