bakalářská práce

Invarianty jetových grup a aplikace v mechanice kontinua

Text práce 531.44 kB Příloha 55.63 kB

Autor práce: Bc. Martin Buriánek

Ak. rok: 2020/2021

Vedoucí: doc. RNDr. Miroslav Kureš, Ph.D.

Oponent: prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Abstrakt:

Tato práce se zabývá jetovými grupami a jejich maticovými reprezentacemi. V úvodní části práce se věnujeme reprezentacím grup, akcím grup na množinách a invariantům akcí. V další části jsou objasněny pojmy hladká varieta, Lieova grupa a Lieova algebra. Následuje vysvětlení pojmu jet a zavedení jetové grupy jako speciálního případu Lieovy grupy. Nejprve jsou popsány grupy $G_1^r$ a $G_n^1$, poté grupa $G_n^2$ a její podgrupy. U popsaných jetových grup jsou navrženy jejich reprezentace. V závěru práce je nástíněna možnost aplikací jetových grup v mechanice kontinua. Práce je doplněna algoritmizací vybraných problému v softwaru Wolfram Mathematica.

Klíčová slova:

akce grupy, invariant, reprezentace grupy, varieta, Lieova grupa, jet zobrazení, jetová grupa, mechanika kontinua, Wolfram Mathematica

Termín obhajoby

1.10.2020

Výsledek obhajoby

obhájeno (práce byla úspěšně obhájena)

znakmkaBznamka

Klasifikace

B

Průběh obhajoby

Student představil svoji bakalářskou práci na téma Invarianty jetových grup a aplikace v mechanice kontinua. V rámci diskuze byla položena otázka týkající se matic s nulovým blokem ve zkrácené reprezentaci grup (doc. Hrdina). Další dotaz byl k větě v prezentaci ohledně reprezentace a užitích kvantifikátorů (Mgr. Pavlík). Student byl také tázán na cíl práce týkající se algoritmizace, která v prezentaci nebyla zahrnuta. Student na položené otázky vhodně odpověděl.

Jazyk práce

čeština

Fakulta

Fakulta strojního inženýrství

Ústav

Ústav matematiky

Studijní program

Aplikované vědy v inženýrství (B3A-P)

Studijní obor

Matematické inženýrství (B-MAI)

Složení komise

prof. RNDr. Jan Franců, CSc. (předseda)
doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D. (místopředseda)
doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D. (člen)
doc. Ing. Pavel Štarha, Ph.D. (člen)
Mgr. Jan Pavlík, Ph.D. (člen)

Posudek vedoucího
doc. RNDr. Miroslav Kureš, Ph.D.

Předložená práce Martina Buriánka je zaměřena na představení akcí jetových grup a jejich roli v teorii invariantů. Kapitola 3 představuje zajímavý úvod do teorie invariantů a kapitoly 5 a 6, ve kterých jsou studovány jetové grupy, jsou stěžejní: výpočty reprezentací těchto grup jsou původními výsledky autora. Pokud jde o aplikace, odstavec 6.4 a kapitolu 7 pokládám za poněkud nedotažené, což ale lze akceptovat s ohledem na pečlivost autora při práci na teoretickém pozadí.  Nicméně interpretace či "prodej" výsledků (v tom nejlepším slova smyslu) tím trpí.
Mohu také konstatovat, že práce Martina Buriánka byla naprosto samostatná a že zpracoval instruktivní ukázky v prostředích Wolfram Mathematica a Geogebra.
Zadání tak bylo splněno beze zbytku a výsledek podle mého názoru přesahuje standard bakalářských prací, a to zejména s ohledem na náročnost tématu. Tuto práci tudíž dopoeručuji k obhajobě a hodnotím ji výslednou známkou A.
Kritérium hodnocení Známka
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod A
Vlastní přínos a originalita A
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry C
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis A
Práce s literaturou včetně citací A
Samostatnost studenta při zpracování tématu A

Známka navržená vedoucím: A

Posudek oponenta
prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Práce je věnována akcím jetových grup, jejich maticovým reprezentacím a potenciálním aplikacím v mechanice kontinua. Pro studenta bakalářského studia se jedná o velmi náročnou problematiku, protože příslušný matematický aparát je zpravidla předmětem pokročilých kurzů v magisterském nebo doktorském studiu matematiky. Možná i z tohoto důvodu jsou některé pasáže poněkud nevyvážené. Autor  na jedné straně zavádí některé triviální pojmy, jako např. pojem zobrazení a bijekce (str. 3), nebo komplexní číslo (str. 17).  Na druhé straně, zavedení některých jiných pojmů považuji za velmi stručné a poněkud nedotažené (např. definice diferencovatelné variety, pojem jetu, vektorového pole, Lieovy grupy apod.).  Autor rovněž občas používá pojmy, které nebyly definovány (např. spočetná báze topologického prostoru), u některých vět chybí důkaz nebo odkaz na zdroj (např. Věta 2.1). Očekával bych rovněž podrobnější interpretaci výsledků kapitoly 6. Po formální stránce je práce psána velmi pečlivě a má charakter standardního matematického textu. Autor prokázal, že porozuměl některým pokročilým partiím diferenciální geometrie a zvládl samostatně formulovat některé výsledky. Vlastní přínos autora je rovněž originální,  hlavně některé výsledky kapitoly 6 a také algoritmizace vybraných problémů v software Wolfram Mathematica.  Z výše uvedených důvodů hodnotím práci kladně a doporučuji ji k obhajobě.
Kritérium hodnocení Známka
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita A
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii C
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis A
Práce s literaturou včetně citací A

Známka navržená oponentem: B