Detail předmětu

Fourierova analýza

FSI-SFAPovinnýMagisterský navazující (druhý cyklus)Ak. rok: 2016/2017Zimní semestr1. ročník4  kredity

Předmět se zabývá základními pojmy Fourierovy analýzy a její ilustrací na konkrétních příkladech. Jsou především probrány otázky reprezentace funkcí pomocí trigonometrického systému, Fourierova a Laplaceova transformace, jejich vlastnosti a aplikace.

Výsledky učení předmětu

Znalost základních pojmů a metod Fourierovy analýzy, zejména Fourierových řad, Fourierovy a Laplaceovy transformace a schopnost tyto pojmy prakticky využívat.

Způsob realizace výuky

90 % kontaktní výuka, 10 % distančně

Prerekvizity

Matematická analýza, základy lineární funkcionální analýza, míra a integrál.

Doporučená nebo povinná literatura

I. P. Natanson: Teorija funkcij veščestvennoj peremennoj, Nauka, Moskva, 1954.
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
E. W. Howel, B. Keneth: Principles of Fourier Analysis, CRC Press, 2001.
E. M. Stein´, G. Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Eucledian spaces, Princeton University Press, 1971.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.

Cíl

Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a metodami Fourierovy analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor