Detail předmětu

Matematika III

FSI-3MAk. rok: 2007/2008

Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a
se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních
diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický
základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady
a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních
diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace. Numerické metody
řešení.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

7

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných bodů
z obou kontrolních prací, z nichž první se koná v osmém a
druhá ve třináctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku
nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.
Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Do klasifikačního hodnocení
se zahrnuje výsledek písemné zkoušky.
V odůvodněných případech lze přihlédnout také k výsledkům kontrolních
prací v teoretickém cvičení.
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů). Bodové hodnocení může být modifikováno, avšak při zachování výše uvedených poměrů.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Základní literatura

Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964. (EN)

Doporučená literatura

Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016. (CS)
Logan, J.D.: A First Course in Differential Equations. New York, Springer, 2006. (EN)
Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B3901-3 bakalářský

    obor B3940-00 , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor B3942-99 , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor B3904-00 , 2. ročník, zimní semestr, povinný

  • Program B2341-3 bakalářský

    obor B2339-00 , 2. ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N2301-2 magisterský navazující

    obor N2370-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2335-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2365-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2366-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2313-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2332-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2303-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2307-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný
    obor N2328-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N2301-3 magisterský navazující

    obor N2300-00 , 1. ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N2301-2 magisterský navazující

    obor N2308-BS , 1. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Libor Čermák, CSc.
doc. RNDr. Jiří Klaška, Dr.
doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.
doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.
doc. RNDr. Libor Žák, Ph.D.

Osnova

1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční a mocninné řady. Typy konvergence a základní vlastnosti.
3. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
4. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. ODR. Základní pojmy. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
6. Existence, jednoznačnost a numerické metody řešení počátečních problémů pro ODR 1. řádu
7. ODR vyššího řádu. Vlastnosti a metody řešení homegenní lineární ODR vyššího řádu.
8. Vlastnosti a metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenních lineárních soustav 1. řádu.
10. Vlastnosti a metody řešení nehomogenních lineárních soustav 1. řádu
11. Okrajový problém pro ODR 2. řádu. Numerické metody řešení.
12. PDR. Základní pojmy. Klasifikace PDR 2. řádu.
13. Numerické metody řešení PDR.

Cvičení

32 hod., povinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Rudolf Grepl, CSc.
RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.
Ing. Jiří Jánský, Ph.D.
Ing. Veronika Lacinová, Ph.D.
RNDr. Marie Marošová
Ing. Karel Martišek, Ph.D.
doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.
doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.
Mgr. Jan Pavlík, Ph.D.
Mgr. Jana Procházková, Ph.D.
Ing. Jakub Šácha, Ph.D.
doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.
doc. RNDr. Libor Žák, Ph.D.

Osnova

1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Pokračování předch. cvičení.
8. Numerické metody řešení ODR 1. řádu.
9. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Nehomogenní lineár. ODR vyššího řádu.
11. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Nehomogenní soustavy lineár. ODR 1. řádu.
13. Fourierova metoda řešení PDR.

Cvičení s počítačovou podporou

20 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ing. Josef Bednář, Ph.D.
RNDr. Jiří Dočkal, CSc.
RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.
doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.
doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.
Mgr. Jan Pavlík, Ph.D.
doc. Ing. Pavel Štarha, Ph.D.
doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.
doc. RNDr. Libor Žák, Ph.D.

Osnova

Probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Opakování a prohloubení základních dovedností v MAPLE. 2. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 3. ODR1 - geometrická interpretace jednotlivých typů řešení, grafické metody řešení (směrová pole). 4. ODR1 - aplikace (ortogonální trajektorie), numerické metody řešení (včetně sestavení jednoduchého programu). 5. ODRn - grafická interpretace řešení, metoda Taylorových řad. 6. Soustavy ODR1 - grafická interpretace řešení, fázový portrét řešení. 7. PDR - vybrané metody řešení.