Detail předmětu

Obyčejné diferenciální rovnice v mechanice

FSI-SRMAk. rok: 2024/2025

Předmět seznámí studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, zejména s otázkami existence, jednoznačnosti a prodloužitelnosti řešení počátečních úloh pro nelineární neautonomní soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu. V rámci tohoto předmětu budou probrány také otázky stability řešení neautonomních soustav a jejich speciálních případů a základy teorie dynamických systémů. Budou také připomenuty základy klasické mechaniky (kinematika a dynamika hmotného bodu, tuhého tělesa a soustav tuhých těles, Lagrangeovy rovnice) potřebné k sestavení pohybových rovnic jednodušších mechanických soustav. Vybudovaný matematický aparát bude použit v analýze obyčejných diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech z mechaniky, přičemž v jejich analýze bude kladen důraz na přesnou matematickou argumentaci. Jedná se zejména o modely kmitání lineárních a nelineárních mechanických soustav s jedním i více stupni volnosti.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

6

Garant předmětu

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

V oblasti matematiky: Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, analytické metody řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav.

V oblasti mechaniky: Vektorové vyjádření sil a momentů. Principy uvolňování těles. Potenciální a kinetická energie.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičeních, úspěšné absolvování písemného testu (tj. je potřeba získat alespoň polovinu z maximálního počtu bodů).

Zkouška: Bude probíhat ústní formou, prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách). Detailní informace budou oznámeny na konci semestru.

Učební cíle

Cíl kurzu: Cílem předmětu je seznámit studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, dynamických systémů a analytické mechaniky. Úkolem je také studentům ukázat použití teoretických výsledků v analýze diferenciálních rovnic objevujících se v matematických modelech v mechanice, přičemž vhodně interpretovat získané poznatky, avšak dbát na korektní matematickou argumentaci.

Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování předmětu studenti zvládnou použít teoretický matematický aparát v analýze diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech v mechanice. Budou schopni sestavit pohybové rovnice jednodušších mechanických soustav a posoudit otázku stability a typu ekvilibrií získaných obecně nelineárních autonomních soustav diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách z mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic. 

Základní literatura

ANDRONOV, A. A.; LEONTOVICH, E. A.; GORDON, I. I. a MAIER, A. G. Qualitative Theory of Second-order Dynamic Systems. New York: John Wiley, 1973. ISBN 0470031956. (EN)
CODDINGTON, E. A. a LEVINSON, N. Theory of ordinary differential equations. Malabar: Krieger Publishing Company, 1984. ISBN 0-89874-755-4. (EN)
DiBENEDETTO, E. Classical mechanics. Theory and mathematical modeling, Birkhäuser/Springer, New York, 2011. ISBN: 978-0-8176-4526-7. (EN)
DEMIDOVICH B. P. Lectures on the mathematical theory of stability. Izdat. "Nauka'', Moscow 1967. (RU)
HARTMAN, P. Ordinary differential equations. Philadelphia: SIAM, 2002. ISBN 0-89871-510-5. (EN)
PERKO, L. Differential equations and dynamical systems. New York: Springer Science+Business Media, 2001. ISBN 0-387-95116-4.ew York, 2001, ISBN 0-387-95116-4. (EN)

Doporučená literatura

CODDINGTON, E. A. a LEVINSON, N. Theory of ordinary differential equations. Malabar: Krieger Publishing Company, 1984. ISBN 0-89874-755-4. (EN)
HARTMAN, P. Ordinary differential equations. Philadelphia: SIAM, 2002. ISBN 0-89871-510-5. (EN)
KALAS J. a RÁB M. Obyčejné diferenciální rovnice. Masarykova univerzita, Brno, 1995. ISBN 80-210-1130-0. (CS)
PERKO, L. Differential equations and dynamical systems. New York: Springer Science+Business Media, 2001. ISBN 0-387-95116-4.ew York, 2001, ISBN 0-387-95116-4. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující, 2. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Stabilita řešení lineárních soustav ODR, Lyapunovy exponenty, stabilita řešení kvazilineárních soustav.
Počáteční úloha pro nelineární soustavy ODR: Existence, jednoznačnost a prodloužitelnost řešení.
Struktura množiny řešení počáteční úlohy pro nelineární soustavy ODR, integrální trychtýř.
Stabilita řešení nelineárních soustav ODR, přímá Lyapunovova metoda.
Autonomní soustavy ODR: Fázová trajektorie, fázový portrét, ekvilibrium a jeho stabilita.
Planární nelineární autonomní soustavy ODR: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, linearizace.
Hamiltonovské systémy, nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Úvod do analytické mechaniky, Lagrangeovy rovnice.
Lineární kmitání s 1 stupněm volnosti, různé druhy tlumení.
Nelineární kmitání s 1 stupněm volnosti, matematické a fyzikální kyvadlo.
Lineární a kmitání s více stupni volnosti.
Modelování pohybu dislokací v krystalech.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Analytická řešení vybraných typů nelineárních ODR 1. řádu.
Stabilita lineárních soustav ODR s konstantní maticí, Hurwitzovo kritérium.
Implicitní diferenciální rovnice: Lagrangeova a Clairotova rovnice.
Geometrické úlohy vedoucí k analytickému řešení ODR.
Eulerova diferenciální rovnice v řešení napjatosti tlustostěnných nádob a deformace kruhové desky.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Rovnice řetězovky.
Planární autonomní soustavy: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.
Nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.