Detail předmětu

Parciální diferenciální rovnice

FSI-SPDAk. rok: 2024/2025

Obsah předmětu je následující: 
Parciální diferenciální rovnice - základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky (vedení tepla v tyči a tělese, kmitání struny, vlnová rovnice v prostředí dimenze 1, 2, 3 a odvození z variačního principu) formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Řešení algebraických rovnic a soustav lineárních rovnic, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

K získání zápočtu je nutné úspěšné napsání dvou kontrolních prací. Zkouška se skládá z písemné a ústní části. 

Učební cíle

Cílem kurzu je  seznámit posluchače s parciálními diferenciálními rovnicemi, jejich základními vlastnostmi a jejich použitím v matematickém modelování, naučit formulovat počáteční a okrajové úlohy modelující vybrané konkrétní fyzikální situace. Dalším cílem je seznámit studenty s klasickými metodami řešení a naučit řešit jednoduché úlohy pro rovnice matematické fyziky.
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.

Základní literatura

V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence 1998
W. E. Williams: Partial differential equations,

Doporučená literatura

J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta FSI VUT, CERM 2011 (CS)
J. Franců: Obyčejné diferenciální rovnice a Příklady z ODR, http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/francu (CS)
V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977. (SK)
K. Rektorys: Přehled užité matematiky II., Prometheus 1995 (CS)
J. Škrášek, Z. Tichý: Základy aplikované matematiky II, SNTL, Praha 1986 (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MAI-P bakalářský, 3. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Osnova

1. ODR, řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic vyšších řádů.
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.