Detail předmětu

Matematika III

FAST-GA05Ak. rok: 2018/2019

Dvojný a trojný integrál, základní vlastnosti a výpočet. Transformace dvojného a trojného integrálu a jejich aplikace.
Křivkový integrál 1.a 2.druhu, základní vlastnosti a výpočet. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Obyčejné diferenciální rovnice (DR) prvního řádu, existence a jednoznačnost řešení. DR se separovanými proměnnými, homogenní, lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie, obálka soustavy křivek. Lineární DR n-tého řádu, obecné řešení, základní vlastnosti řešení. Lineární DR s konstantními koeficienty.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student se naučí řešit dvojné a trojné integrály pomocí Fubiniových vět a standardních transformací. Zvládne výpočet jednoduchých křivkových integrálů ve skalárním i vektorovém poli. Naučí se analyticky řešit diferenciální rovnice prvního řádu (separovanou, lineární, homogenní, exaktní). Zvládne kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant.

Prerekvizity

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy fukcí). Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Doporučená nebo povinná literatura

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I. SNTL, Praha, 1987. (CS)
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York, 1989. (EN)
BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika II. SNTL, Praha, 1990. (CS)
Čermáková, H. a spol.: Sbírka příkladů z matematiky II. Stavební fakulta VUT Brno, CERM, 1994. (CS)
Prudilová, K. a spol.: Sbírka příkladů z matematiky III. Stavební fakulta VUT Brno, CERM, 2001. (CS)
Kolektiv: Elektronické studijní opory. FAST VUT Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
DIBLÍK, J., PŘIBYL,O.: Obyčejné diferenciální rovnice. CERM Brno, 2004. (CS)
DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O, PŘIBYL, O: Modul 1 Dvojný a trojný integrál. CERM Brno, 2006. (CS)
DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O, PŘIBYL, O: Modul 2 Křivkové integrály. CERM Brno, 2006. (CS)
KOUTKOVÁ, H., PRUDILOVÁ, K.: Sbírka příkladů z matematiky III, Modul BA02_M05 Dvojný, trojný a křivkový integrál. FAST VUT, 2007. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Úspěšné absolvování naplánovaných kontrolních testů a odevzdání individuálních domácích úloh uložených učitelem. Nejsou povoleny neomluvené neúčasti studentů ve cvičení.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Cíl

Seznámit se s dvojnými a trojnými integrály a jejich základními aplikacemi, zvládnout počítání těchto integrálů pomocí Fubiniových vět a standardních transformací.
Seznámit se s křivkovými integrály ve skalárním a vektorovém poli a jejich aplikacemi. Zvládnout výpočet jednoduchých křivkových integrálů.
Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu. Pochopit problematiku ortogonálních a izogonálních trajektorií.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-K-C-GK bakalářský

    obor G , 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-GK bakalářský

    obor G , 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-K-C-GK bakalářský

    obor GI , 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-GK bakalářský

    obor GI , 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Základní vlastnosti dvojného (trojného) integrálu. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli.
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty.
12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Metoda variace konstant. Zápočty.