Detail předmětu

Matematika II

FAST-GA04Ak. rok: 2018/2019

Primitivní funkce, neurčitý integrál a jeho vlastnosti, integrační metody. Integrace racionální funkce, goniometrických funkcí a vybraných typů iracionálních funkcí. Newtonův integrál - vlastnosti a výpočet. Riemannův integrál. Aplikace určitého integrálu v geometrii a ve fyzice. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Funkce jedné proměnné daná implicitně. Funkce dvou proměnných daná implicitně. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Metody výpočtu neurčitých a určitých integrálů.
Hlavní aplikace určitých integrálů.
Základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných.
Totálního diferenciál funkce více proměnných.
Určování lokálních a absolutních extrémů funkce dvou proměnných.
Výpočet směrové derivace funkce více proměných.

Prerekvizity

Elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné(limita a spojitost, grafy funkcí, derivace, průběh funkce). Vzorce pro výpočet neurčitých a určitých integrálů i základní integrační metody.

Doporučená nebo povinná literatura

TRYHUK, V., DLOUHÝ, O.: Matematika I, Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných. CERM - studijní opora v intranetu i tištěný text, 2004. (CS)
Larson R., Hostetler R.P., Edwards B.H.: Calculus (with Analytic Geometry). Brooks Cole, 2005. (EN)
Daněček, J., Dlouhý, O., Přibyl. O.: Matematika I, Modul 8, Určitý Integrál. CERM - studijní opora v intranetu i tištěný text, 2007. (CS)
Daněček, J., Dlouhý, O., Přibyl, O.: Matematika I, Modul 7, Neurčitý Integrál. CERM - studijní opora v intranetu i tištěný text, 2007. (CS)
HŘEBÍČKOVÁ, J., SLABĚŇÁKOVÁ, J., ŠAFÁŘOVÁ, H.: Sbírka příkladů z matematiky II. CERM, 2008. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé vybrané typy úloh a také schopnosti správného použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.
Výsledné hodnocení (zkouška) je bodové (0-100 bodů), ze cvičení lze uznat maximálně 30 bodů. Závěrečná zkouška je písemná (hodnocení 0-70 bodů).

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Pojem primitivní funkce. Vlastnosti neurčitého integrálu. Integrační metody pro neurčitý integrál.
2. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí.
3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí.
4. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice.
5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích.
6. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů.
7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných.
8. Funkce jedné proměnné a funkce dvou proměnných dané implicitně.
9. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.
10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Cíl

Zvládnout principy integrování některých složitějších elementárních funkcí. Pochopit některé aplikace určitého integrálu (délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště).
Seznámit se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-K-C-GK bakalářský

    obor G , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-GK bakalářský

    obor G , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-K-C-GK bakalářský

    obor GI , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-GK bakalářský

    obor GI , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Pojem primitivní funkce. Vlastnosti neurčitého integrálu. Integrační metody pro neurčitý integrál.
2. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí.
3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí.
4. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice.
5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích.
6. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů.
7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných.
8. Funkce jedné proměnné a funkce dvou proměnných dané implicitně.
9. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.
10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Integrace racionální funkce.
2. Integrace goniometrických funkcí.
3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu.
4. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice.
5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost.
6. Zápočtová písemná práce I. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů.
7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných.
8. Funkce dané implicitně.
9. Zápočtová písemná práce II. Globální extrémy. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.
10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.