čeština

11

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Student zvládne hlavní cíle předmětu. Pochopí základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládne kalkul derivování a naučí se řešit úlohu průběhu funkce.
Zvládne počítání s maticemi, elementární úpravy a vyčíslení determinantů, řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (Gaussovou eliminační metodou, Cramerovým pravidlem a užitím inverzní matice). Seznámí se s užitím vektorového počtu v řešení úloh analytické geometrie v prostoru.
Zvládne principy integrování elementárních funkcí a počítání některých aplikací určitého integrálu. Zvládne parciální derivování funkcí více proměnných. Pochopí pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučí se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámí se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů.
Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie ve třírozměrném euklidovském prostoru (parametrické rovnice přímky, obecná rovnice roviny, skalární součin vektorů a jeho použití při řešení metrických a polohových úloh). Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

1. P1: Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. P2: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje.
2. P3: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů. P4: Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
3. P5: Smíšený součin vektorů. Rovina v E3. Přímka v E3, úlohy polohy. P6: Úlohy metrické v E3. Plochy v E3.
4. P7: Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce. P8: Elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické a hyperbolometrické funkce.
5. P9: Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru. Racionální funkce. P10: Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce, základní věty.
6. P11: Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. Derivace složené a inverzní funkce. P12: Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů.
7. P13: Taylorova věta. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. P14: Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.
8. P15: Integrace metodou per partes a substituční. Integrace racionální funkce (bez rekurentního vzorce), vztahy pro integraci goniometrických funkcí. P16: Integrace goniometrických funkcí. Integrace iracionálních funkcí.
9. P17: Newtonův a Riemannův integrál a jejich vlastnosti. Metoda per partes a substituční pro určitý integrál. P18: Geometrické aplikace určitého integrálu. Technické aplikace určitého integrálu.
10. P19: Technické aplikace určitého integrálu. Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce. P20: Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů.
11. P21: Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů. Taylorův polynom. P22: Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Implicitní funkce jedné proměnné.
12. P23: Implicitní funkce dvou proměnných. Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy. P24: Tečna a normálová rovina prostorové křivky. Tečná rovina a normála plochy.
13. P25: Skalární pole, derivace ve směru, gradient. Dokončení látky. P26: Shrnutí látky semestru, opakování, příprava ke zkoušce.

Schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.
Pochopit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládnout derivování a naučit se řešit úlohu průběhu funkce. Pochopit a zvládnout principy integrování elementárních funkcí. Pochopit některé aplikace určitého integrálu (délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště). Seznámit se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I. Praha, SNTL, 1987. (CS)
LANG, S.: Calculus of several variables. Springer Verlag, New York, 1988. (EN)
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York, 1989. (EN)

DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O.: Integrální počet I. CERM Brno, 2003. (CS)
J. Daněček a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. Akademické nakladatelství CERM Brno, 2003. (CS)
H. Čermáková a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky II. Akademické nakladatelství CERM, 2003. (CS)
Kolektiv: Studijní opory předmětu BA01. FAST VUT, Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
TRYHUK, V. - DLOUHÝ, O.: Modul GA01_M01 studijních opor předmětu GA01. FAST VUT, Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
NOVOTNÝ, J.: Základy lineární algebry. CERM, 2004. (CS)
DLOUHÝ, O.- TRYHUK, V.: Diferenciální počet I. CERM, 2004. (CS)
TRYHUK,V.- DLOUHÝ, O.: Diferenciální počet II. CERM, 2004. (CS)

52 hod., povinná