čeština

5

Znalost základních pojmů metrických, lineárních, normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.

Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.

1. Metrický prostor - základní pojmy, některé podmnožiny, separabilní metrické prostory, konvergence, úplné metrické prostory, kompaktnost, kompaktní množiny v některých speciálních prostorech.
2. Míra a integrál - Lebesqueova míra, měřitelné funkce, Lebesgueův integrál, věty o limitním přechodu.
3. Lineární prostor - defnice a příklady, normovaný prostor, unitární prostor, Besselova nerovnost, Riesz-Fischerova věta, Hilbertův prostor, charakteristická vlastnost unitárních prostorů.
4. Funkcionály - geometrický význam lineárního funkcionálu, konvexní množiny, konvexní funkcionály, Hahn-Banachova věta, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta v normovaném prostoru.
5. Adjungovaný prostor - prostor adjungovaný k Hilbertovu prostoru, druhý adjungovaný prostor, slabá konvergence, Banach-Steinhausova věta, slabá konvergence a ohraničené množiny v adjungovaném prostoru.

Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.

V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014. (CS)
D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002. (EN)
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum 1998. (CS)
B. Rynne, M. Youngson, Linear functional analysis, Springer 2008. (EN)
E. Zeidler, Applied functional analysis: Main principles and their applications, Springer, 1995. (EN)

26 hod., povinná

Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.