čeština

5

Znalost základních pojmů metrických, lineárních, normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.

Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.

1. Metrický prostor - základní pojmy, některé podmnožiny, separabilní metrické prostory, konvergence, úplné metrické prostory, kompaktnost, kompaktní množiny v některých speciálních prostorech.
2. Míra a integrál - Lebesqueova míra, měřitelné funkce, Lebesgueův integrál, věty o limitním přechodu.
3. Lineární prostor - defnice a příklady, normovaný prostor, unitární prostor, Besselova nerovnost, Riesz-Fischerova věta, Hilbertův prostor, charakteristická vlastnost unitárních prostorů.
4. Funkcionály - geometrický význam lineárního funkcionálu, konvexní množiny, konvexní funkcionály, Hahn-Banachova věta, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta v normovaném prostoru.
5. Adjungovaný prostor - prostor adjungovaný k Hilbertovu prostoru, druhý adjungovaný prostor, slabá konvergence, Banach-Steinhausova věta, slabá konvergence a ohraničené množiny v adjungovaném prostoru.

Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.

V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014. (CS)
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)

26 hod., povinná

Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.