čeština

5

Během zkoušky se ověřuje, že absolvent předmětu je schopen:

- definovat pojem matice, soustavy lineárních rovnic a jejího řešení, vektorového prostoru, jeho dimenze a báze, součtu a průniku vektorových prostorů, skalárního součinu, ortogonálního průmětu, aproximace ortogonálním průmětem, ortogonálního doplňku, vlastního vektoru a vlastního čísla matice, kvadratické formy, duálního vektorového prostoru, kovariantní a kontravariantní báze, kovariantního, kontravariantního a smíšeného tenzoru, tenzorového a antisymetrického součinu, antilineární formy;
- vysvětlit obsah výše uvedených pojmů a jejich vzájemné souvislosti;- aplikovat nejdůležitější teorémy maticového a tenzorového počtu při řešení konkrétních úloh;
- vypočítat řešení obecné soustavy lineárních rovnic;
- určit dimenzi a bázi vektorového prostoru;
- vypočítat matici přechodu mezi bázemi a nové souřadnice vektoru;
- vypočítat součet a průnik vektorových prostorů;
- vypočítat ortogonální průměty vektorů a matice ortogonálních projekcí;
- vypočítat vlastní vektory a vlastní hodnoty matice;
- vypočítat diagonální tvar samoadjungované matice a příslušné ortogonální transformační matice;
- určit deficitnost kvadratické formy;
- určit typ kvadratické plochy;
- vypočítat souřadnice vektorů, lineárních forem a tenzorů ve standardní, kovariantní a kontravariantní bázi;
- vypočítat tenzorový a antisymetrický (vnější) součin tenzorů,
- vyjmenovat hlavní aplikace maticového a tenzorového počtu vně matematiky.

Z oblasti základů matematiky by měl být student schopen:

- popsat nejdůležitější číselné množiny (přirozená, celá, racionální, reálná a komplexní čísla);
- vysvětlit základní vlastnosti výše uvedených číselných množin zejména s ohledem na jejich mohutnost a existenci řešení algebraických rovnic.
- aplikovat základní pravidla pro práci s komplexními čísly;
- aplikovat základní pravidla pro úpravy algebraických výrazů;
- vypočítat řešení jednoduchých soustav lineárních rovnic dosazovací metodou;
- vypočítat kořeny kvadratické rovnice;
- vypočítat kořeny vybraných rovnic n-tého stupně pomocí Hornerova schématu;
- vypočítat derivace a integrály jednoduchých funkcí jedné reálné proměnné, zejména funkcí elementárních;
- vypočítat řešení velmi jednoduché obyčejné diferenciální rovnice metodou separace proměnných.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Definice matice, základní pojmy. Transponování matic.
Determinant čtvercové komplexní matice.
Operace s maticemi, speciální tvary matic. Inverzní matice.
Použití matic k řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Lineární, bilineární a kvadratické formy. Definitnost kvadratických forem.
Spektrální vlastnosti matic.
Lineární prostor, báze, dimenze.
Lineární transformace souřadnic vektoru.
Kovariantní a kontravariantní souřadnice vektoru.
Definice tenzoru.
Tenzor kovariantní, kontravariantní, smíšený.
Operace s tenzory.
Symetrie a antisymetrie tenzorů druhého řádu.

Zvládnout základy maticového a tenzorového počtu a jejich aplikace.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Havel V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984.
Hrůza B., Mrhačová H.: Cvičení z algebry a geometrie. Ediční stř. VUT 1993, skriptum
Schmidtmayer J.: Maticový počet a jeho použití, SNTL, Praha, 1967.
Boček L.: Tenzorový počet, SNTL Praha 1976.
Angot A.: Užitá matematika pro elektroinženýry, SNTL, Praha 1960.
Kolman, B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1986.
Kolman, B., Introductory Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1991.
Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982.
Krupka D., Musilová J., Lineární a multilineární algebra, Skriptum Př. f. MU, SPN, Praha, 1989.

8 hod., povinná

Definice matice, základní pojmy. Transponování matic.
Determinant čtvercové komplexní matice.
Operace s maticemi, speciální tvary matic. Inverzní matice. Použití matic k řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Lineární, bilineární a kvadratické formy. Definitnost kvadratických forem.
Spektrální vlastnosti matic.
Lineární prostor, podprostor, báze, dimenze.
Lineární transformace souřadnic vektoru.
Kovariantní a kontravariantní souřadnice vektoru.
Definice tenzoru. Tenzor kovariantní, kontravariantní, smíšený.
Operace s tenzory. Symetrie a antisymetrie tenzorů druhého řádu.