Detail předmětu

Matematika I/2

FAST-BA07Ak. rok: 2013/2014

Neurčitý integrál (základní vlastnosti, integrační metody, technika integrování). Určitý integrál (definice Newtonova a Riemannova integrálu, základní vlastnosti a výpočet). Aplikace integrálního počtu v geometrii a fyzice, obsah rovinného obrazce, délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště.
Funkce dvou a více proměnných, limita a spojitost, parciální derivace, implicitní funkce, totální diferenciál, Taylorův rozvoj, extrémy funkcí - lokální a vázané, absolutní extrémy; derivace ve směru, gradient. Křivka v E3, tečna k prostorové křivce, tečná rovina a normála plochy zadané implicitně.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student bude chápat základní pojmy integrálního počtu funkce jedné proměnné, zvládne principy integrování elementárních funkcí a počítání některých aplikací určitého integrálu (délky křivky, objemu a povrchu rotačního tělesa, statických momentů a těžiště).
Seznámí se se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládne parciální derivování funkcí více proměnných. Pochopí pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučí se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámí se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Prerekvizity

Znát základy lineární algebry, vektorového počtu a analytické geometrie v prostoru. Znát základy teorie reálné funkce jedné reálné proměnné, umět derivovat elementární funkce.

Doporučená nebo povinná literatura

Lang, S.: Calculus of several variables. Springer Verlag, New York, 1988. (EN)
Stein, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York, 1989. (EN)
BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J,: Matematika I. SNTL Praha, 1987. (CS)
Čermáková, Hana a kol.: Sbírka příkladů z matematiky II. CERM Brno, 1994. (CS)
Kolektiv: Elektronické studijní opory. FAST VUT, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
TRYHUK,V.- DLOUHÝ, O.: Diferenciální počet II. CERM, Brno, 2004. (CS)
J. Daněček a kol.: Sbírka příkladů z matematiky I. CERM Brno, 2006. (CS)
J. Daněček, O. Dlouhý, O. Přibyl: Neurčitý integrál. CERM Brno, 2007. (CS)
J. Daněček, O. Dlouhý, O. Přibyl: Určitý integrál. CERM Brno, 2007. (CS)
J. Slaběňáková a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky II. 2008. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Úspěšné absolvování naplánovaných kontrolních testů a odevzdání individuálních domácích úloh uložených učitelem. Nejsou povoleny neomluvené neúčasti studentů ve cvičení.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti. (50 min.) - Integrace metodou substituční a per partes. (50 min.)
Cv. Opakování diferenciálního počtu (derivování, parciální zlomky).
2. Integrace racionální funkce. (50 min.) Integrace goniometrických funkcí. (50 min.)
Cv. Integrace úpravou a substitucí.
3. Integrace goniometrických funkcí. (50 min.) Integrace iracionálních funkcí. (50 min.)
Cv. Integrace per partes. Integrace racionální funkce.
4. Integrace iracionálních funkcí. (50 min.) Newtonův a Riemannův integrál a jejich
vlastnosti. (50 min.)
Cv. Integrace goniometrických funkcí.
5. Metoda substituční a per partes pro určitý integrál. (50 min.) - Geometrické aplikace určitého integrálu. (50 min.)
Cv. Integrace iracionálních funkcí.
6. Technické aplikace určitého integrálu. (2x50 min.)
Cv. Určitý integrál a jeho integrační metody.
7. Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce. (50 min.) - Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných. (50 min.)
Cv. Geometrické aplikace určitého integrálu. Test 1.
8. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů. (50 min.) - Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů. (50 min.)
Cv. Technické aplikace určitého integrálu.
9. Taylorův polynom. (50 min.) - Lokální extrémy funkce dvou proměnných. (50 min.)
Cv. Definiční obor, parciální derivace funkce více proměnných.
10. Implicitní funkce jedné proměnné. (50 min.) - Implicitní funkce dvou proměnných. (50 min.)
Cv. Totální diferenciál, Taylorův polynom. Lokální extrémy.
11. Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy. (2x50 min.)
Cv. Lokální extrémy. Test 2.
12. Prostorová křivka, geometrický význam tečného vektoru křivky. Tečná rovina a normála plochy. (2x50 min.)
Cv. Implicitní funkce. Globální extrémy.
13. Skalární pole, derivace ve směru, gradient. (2x50 min.)
Cv. Tečná rovina plochy. Zápočet.

Cíl

Pochopit základní pojmy integrálního počtu funkce jedné proměnné. Pochopit a zvládnout principy integrování elementárních funkcí. Pochopit některé aplikace určitého integrálu (délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště). Seznámit se se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-P-E-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-K-C-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-ST bakalářský

    obor VS , 1. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.Integrace metodou substituční a per partes.
2. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí.
3. Integrace goniometrických funkcí. Integrace iracionálních funkcí.
4. Integrace iracionálních funkcí. Newtonův a Riemannův integrál a jejich vlastnosti.
5. Metoda substituční a per partes pro určitý integrál. Geometrické aplikace určitého integrálu.
6. Technické aplikace určitého integrálu.
7. Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce. Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných.
8. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů. Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů.
9. Taylorův polynom. Lokální extrémy funkce dvou proměnných.
10. Implicitní funkce jedné proměnné. Implicitní funkce dvou proměnných.
11. Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy.
12. Prostorová křivka, geometrický význam tečného vektoru křivky. Tečná rovina a normála plochy.
13. Skalární pole, derivace ve směru, gradient.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.
2. Integrace úpravou a substitucí.
3. Integrace per partes. Integrace racionální funkce.
4. Integrace goniometrických funkcí.
5. Integrace iracionálních funkcí.
6. Určitý integrál a jeho integrační metody.
7. Geometrické aplikace určitého integrálu. Test 1.
8. Technické aplikace určitého integrálu.
9. Definiční obor, parciální derivace funkce více proměnných.
10. Totální diferenciál, Taylorův polynom. Lokální extrémy.
11. Lokální extrémy. Test 2.
12. Implicitní funkce. Globální extrémy.
13. Tečná rovina a normála plochy. Zápočet.