čeština

5

Absolvent předmětu by měl být schopen správně a přesně definovat základní pojmy, s nimiž pracuje maticový a tenzorový počet; dále by měl být schopen ke každému probíranému pojmu uvést přinejmenším 2-3 konkrétní příklady. Absolvent by měl být schopen zformulovat nejdůležitější probírané teorémy, včetně přesné formulace předpokladů platnosti. Měl by znát a rozumět principu důkazu hlavních probíraných teorémů a být schopen tyto principy vysvětlit. Úspěšný absolvent kurzu dále umí probírané pojmy a teorémy maticového a tenzorového počtu použít k řešení konkrétních úloh ze zadané třídy, pokrývající většinu nejběžnějších aplikací.

Všeobecné matematické znalosti. Schopnost orientace v základních úlohách vyšší matematiky a schopnost aplikace základních metod. Řešení úloh z oblastí uvedených v anotaci, pomocí aplikace základních pravidel. Řešení těchto úloh využitím moderního matematického software. Podrobněji viz. obsah učiva předmětu BMA1 Matematika 1. Absolvování předmětu BMAS Matematický seminář je doporučeno.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

1. Matice a soustavy lineárních rovnic. Gaussova eliminace a její varianty. Operace s maticemi. Hodnost matice. Frobeniova věta. Speciální matice.
2. Determinanty. Metody výpočtu. Adjungovaná matice a její vztah k inverzní matici. Cramerovo pravidlo.
3. Vektorové prostory, báze, dimenze. Transformace báze, transformace souřadnic. Matice prechodu.
4. Operace s vektorovými prostory. Podprostory. Součet a průnik vektorových prostorů.
5. Lineární zobrazení (operátor) a jeho matice v různých bázích. Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení.
6. Skalární součin, Gramova matice, ortogonalizace systému vektorů.
7. Ortogonální průmět do podprostoru, ortogonální doplněk vektorového podprostoru.
8. Matice ortogonální projekce, aproximace ortogonálním průmětem.
9. Vlastní hodnoty a vektory. Diagonální tvar samoadjungované matice. Spektrální reprezentace.
10. Kvadratické formy, jejich definitnost a diagonální tvar. Kvadrirky.
11. Tenzory na reálném vektorovém prostoru. Duální prostor lineárních forem. Různé druhy bází.
12. Tenzorový součin. Kovariantní a kontravariantní tenzory.
13. Antisymetrické tenzory a antisymetrický vnější součin.

Cílem předmětu je naučit studenty používat základy teorie matic, vektorových prostorů, lineárních operátorů a multilineárních forem (tenzorů) a poskytnout jim úvod k jistým moderním aplikacím maticového a tenzorového počtu v oboru jejich vlastního studia.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Havel V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984.
Hrůza B., Mrhačová H.: Cvičení z algebry a geometrie. Ediční stř. VUT 1993, skriptum
Schmidtmayer J.: Maticový počet a jeho použití, SNTL, Praha, 1967.
Boček L.: Tenzorový počet, SNTL Praha 1976.
Angot A.: Užitá matematika pro elektroinženýry, SNTL, Praha 1960.
Kolman, B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1986.
Kolman, B., Introductory Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1991.
Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982.
Krupka D., Musilová J., Lineární a multilineární algebra, Skriptum Př. f. MU, SPN, Praha, 1989.

8 hod., povinná

Definice matice, základní pojmy. Transponování matic.
Determinant čtvercové komplexní matice.
Operace s maticemi, speciální tvary matic. Inverzní matice. Použití matic k řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Lineární, bilineární a kvadratické formy. Definitnost kvadratických forem.
Spektrální vlastnosti matic.
Lineární prostor, podprostor, báze, dimenze.
Lineární transformace souřadnic vektoru.
Kovariantní a kontravariantní souřadnice vektoru.
Definice tenzoru. Tenzor kovariantní, kontravariantní, smíšený.
Operace s tenzory. Symetrie a antisymetrie tenzorů druhého řádu.