Detail předmětu

Aplikovaná harmonická analýza

FSI-9AHAAk. rok: 2018/2019

Obecná teorie generujících systémů v separabilních Hilbertových prostorech: ortonormální báze (ONB), Rieszovy báze (RB) a frejmy (angl frames).
Související operátory (rekonstrukční, diskretizační aj.). Vlastnosti a charakterizační věty. Kanonická dualita. Užitečné konstrukce a algoritmy založené na užití teorie pseudoinverzních operátorů. Speciální frejmy (Gabor, wavelet) a jejich aplikace.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

2

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Získání základů z moderní teorie harmonické analýzy. Osvojení dovedností, které umožní studentům doktorského studia efektivní využití těchto přístupů při modelování a výzkumu reálných systémů s využitím výpočetní techniky.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet, lineární funkcionální analýza.

Korekvizity

Žádné

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Seminární referáty a ústní zkouška.

Pracovní stáže

Žádné

Učební cíle

Seznámit posluchače doktorského studia s posledními výsledky moderní harmonické analýzy a možnostmi jejich využití při řešení praktických úloh funkcionálního modelování v abstraktních prostorech, zejména l^2(J) (prostory diskrétních signálů včetně obrazů), L^2(R) (prostory analogových signálů) a L^2(Omega;A;P) (stochastické lineární modely časových řad). Pozornost bude také věnována problematice hledání numericky stabilních řídkých řešení v modelech s velkým množstvím parametrů.

Doporučené volitelné složky programu

Žádné

Základní literatura

V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů, Odborná učebnice (4.vyd.). Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2019. ISBN 978-80-214-5186-5. (CS)
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011 (EN)
O. Christensen: An Introduction to Frames and Riesz bases. Birkhäuser 2003 (EN)
A. Teolis: Computational Signal processing with wavelets. Birkhäuser 1998 (EN)

Doporučená literatura

S.S. Chen, D.L. Donoho and M. Saunders: Atomic Decomposition by Basis Pursuit, SIAM J. Sci. Comput. 20 (1998), no. 1, 33–61, reprinted in SIAM Review, 43 (2001), no. 1, pp. 129–159. (EN)
G.G. Walter: Wavelets and other orthogonal systems with Applications, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1994. (EN)
Ch. K. Chui: An Introduction to wavelets, Wavelet Analysis and Its Applications, vol. 1, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1992. (EN)
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Ingrid Daubechies, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, vol. 61, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1992. (EN)
Y. Meyer: Wavelets and operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 37, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. (EN)
H. G. Feichtinger (ed.) and T. Strohmer (ed.), Gabor analysis and algorithms. Theory and applications, Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1998 (EN)

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Pseudoinverzní operátory v Hilbertových prostorech
2. Přechod od ortonormálních bází (ONB) k Rieszovým bázím (RB) a frejmům
3. Diskretizační, rekonstrukční, korelační a frejmový operátor
4. Charakterizace ONB, RB a frejmů. Princip duality
5. Vybrané algoritmy řešení inverzních úloh, problém numerické nestability při přeparametrizování (overcomplete frames)
6. Některé speciální prostory a jejich vlastnosti
7. Některé speciální operátory a jejich vlastnosti
8. Gaborovy frejmy
9. Waveletové frejmy
10. Analýza víceúrovňového rozlišení (angl. Multiresolution analysis)
11. Rezerva
Seminář: formou referátů studentů k tématům přidělených k samostudiu pokud možno ve vazbě na téma dizertační práce