• Noc vědců 2017
  • Události
  • Sem patřím
  • Centrum sportovních aktivit VUT v Brně
  • Výzkumná centra
  • Zvut.cz

  • Pravděpodobně máte vypnutý JavaScript. Některé funkce portálu nebudou funkční.

Detail předmětu

Moderní metody řešení diferenciálních rovnic

Kód předmětu: FSI-SDR
Akademický rok: 2016/2017
Typ předmětu: povinný
Typ studia: magisterský navazující (druhý cyklus)
Ročník: 2
Semestr: letní
Počet kreditů:
Výsledky učení předmětu:
Studenti získají orientaci v zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh pro parciální i obyčejné diferenciální rovnice a konstrukci přibližných řešení používaných pro numerické výpočty. Získají také představu o stochastickém integrálu a stochastických diferenciálních rovnicích.
Způsob realizace výuky:
90 % kontaktní výuka, 10 % distančně
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více reálných proměnných, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza a prostory funkcí, teorie pravděpodobnosti.
Korekvizity:
Není specifikováno.
Doporučené volitelné složky programu:
Není specifikováno.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět podává přehled moderních metod řešení diferenciálních rovnic založených na funkcionální analýze. Předmet se zabývá následujícími okruhy: Přehled prostorů funkcí s integrovatelnými derivacemi. Lineární eliptické rovnice: slabá a variační formulace okrajových úloh, existence a jednoznačnost řešení, přibližná řešení a jejich konvergence. Specifika nelineárních úloh. Slabá a variační formulace nelineárních koercivních úloh, existence řešení. Aplikace na vybrané rovnice matematické fyziky. Úvod do stochastických diferenciálních rovnic.
Doporučená nebo povinná literatura:
S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980.
J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, Akad. nakl. CERM, Brno 2006
K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp., 1980.
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha 1978.
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin 2000.
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody:
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve výuce.
Zkouška - praktická část testuje schopnost vzájemně převádět slabou, variační a klasickou formulaci konkrétní nelineární okrajové úlohy a analyzovat její zobecněné řešení. Teoretická část obsahuje 4 otázky z přednesené látky.
Jazyk výuky:
čeština
Pracovní stáže:
Není specifikováno.
Osnovy výuky:
Není specifikováno.
Cíl:
Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních metod řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice založených na prostorech funkcí a funkcionální analýzy včetně konstrukce přibližných řešení.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Pří nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem.

Typ (způsob) výuky:

Přednáška: 26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.
Osnova: 1. Motivace. Přehled vybraných prostředků funkcionální analýzy.
2. Lebesgueovy prostory, zobecněné funkce, popis hranice oblasti.
3. Sobolevovy prostory, různá zavedení, věty o vnoření a o stopách, duální prostory.
4. Slabá formulace lineárních eliptických rovnic.
5. Laxovo-Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost řešení.
6. Variační formulace, konstrukce přibližných řešení.
7. Specifika nelineárních úloh, různé nelinearity. Němyckého operátory.
8. Slabá a variační formulace stacionárních nelineárních rovnic.
9. Monotónní operátory a jejich použití.
10. Aplikace metod na vybrané rovnice matematické fyziky.
11. Úvod do stochastických diferenciánlních rovnic. Brownův pohyb.
12. Itoův integrál a Itoova formule. Řešení stochastických diferenciálních rovnic.
13. Rezerva.
Cvičení: 26 hod., povinná
Vyučující / Lektor: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.
Osnova: Ilustrace pojmů na příkladech a použití vět a teoretických výsledků z přednášek
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích matematické fyziky.

Zařazení předmětu ve studijních programech