Studijní obor doktorského studia Matematické inženýrství je organizován v návaznosti na výsledky odborné činnosti, takže školí doktorandy v numerické analýze, stochastických a nestandardních metodách a v počítačových metodách.

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

1. Algebraicko-geometrické metody v mechanice kontinua a u materiálů s mikrostrukturou

   Téma je zaměřeno na použití teorie jetů a Weilových algeber pro materiály odpovídající Cosseratově kontinuu a jeho dalším zobecněním. Jde o nové použití metod komutativní algebry a moderní diferenciální geometrie v aplikacích.

   Školitel: Kureš Miroslav, doc. RNDr., Ph.D.

2. Analýza dynamických systémů vykazujících chaotické chování

   Některé dynamické systémy vykazují komplikované chování, pro které se vžil termín deterministický chaos. Téma je zaměřeno na analýzu vybraných chaotických modelů (vzhledem k co nejširší množině parametrů systému). Tuto analýzu je možné rozšířit i o modely neceločíselného (zlomkového) řádu.

   Školitel: Nechvátal Luděk, doc. Ing., Ph.D.

3. Asymptotika a oscilace nelineárních dynamických rovnic

   Budeme studovat kvalitativní vlastnosti různých typů nelineárních diferenciálních rovnic druhého i vyšších řádů, které se objevují v aplikacích (vč. např. rovnic se (zobecněným) Laplaciánem). Pozornost bude věnována mj. odvozování asymptotických formulí, které výrazně zpřesní informace o chování řešení, či hledání kritérií pro oscilaci. Budeme uvažovat nejen rovnice diferenciální, ale i jejich diskrétní (či časově škálové analogie). To umožní mj. lépe pochopit a vysvětlit podobnosti či nesrovnalosti mezi spojitým případem a jeho nějakou diskretizací, získat rozšíření na nové škály, či obdržet nové výsledky např. v klasickém diskrétním případě prostřednictvím vhodné transformace na jinou časovou škálu.

   Školitel: Řehák Pavel, prof. Mgr., Ph.D.

4. Distribuovaná stochastická optimalizace

   Mnohé aktuální inženýrské optimalizační problémy vedou na řešení rozsáhlých úloh stochastického programování. Tyto úlohy zahrnují náhodné prvky a vyznačují se speciální strukturou a často i rozsáhlými vstupními daty. Jejich modelování a řešení proto pak vyžaduje použití idejí dekompozice a tzv. distribuovaných úloh, které jsou vytváženy pomocí vhodných postupů distribuovaných výpočtů. Cílem navrženého tématu proto je rozvíjet nové a modifikovat existující přístupy k modelování a řešení úloh stochastického programování, a to včetně jejich implementace a aplikace. Student bude rozvíjet vlastní výzkum v oblasti hierarchických a distribuovatelných optimalizačních modelů. Dále bude spolupracovat s odbornými ústavy na aplikaci výsledků studia, například s UPEI (projekt TIRSM) a EÚ (projekt COMSI) aplikovat výsledky v oblasti komplexního modelování energetických systémů. Zahraniční spolupráce bude realizována s norskými partnery (NTNU Trondheim, NHH Bergen, MUC Molde).

   Školitel: Popela Pavel, RNDr., Ph.D.

5. Funkcionální diferenciální rovnice

   Funkcionální diferenciální rovnice jsou zobecněním obyčejných diferenciálních rovnic. Speciálním případem těchto rovnic jsou rovnice se zpožděným argumentem. Jejich studium je v posledních letech velmi rozšířené. Jedním z důvodů je to, že mohu popsat reálné situace lépe než obyčejné diferenciální rovnice. Kromě rovnice se zpožděním se budeme zabývat také rovnicemi se zrychleným argumentem, které ve známé literatuře tak intenzivně studovány nejsou. Zaměříme se hlavně na analýzu kvalitativních vlastností konkrétních funkcionálních diferenciálních rovnic, které se mohou objevit v reálných modelech. Konkrétně budeme zkoumat oscilatorické vlastnosti řešení uvažovaných rovnic.

   Školitel: Opluštil Zdeněk, doc. Mgr., Ph.D.

6. Geometrické struktury, invarianty a jejich aplikace v mechanice kontinua

   Student se bude zabývat studiem struktur moderní diferenciální geometrie, zejména bandlových funktorů, Lieových grup a invariantů. Kromě teoretických výsledků se zaměří na aplikaci teorie, případně vlastních výsledků v mechanice kontinua, včetně termodynamiky.

   Školitel: Tomáš Jiří, doc. RNDr., Dr.

7. Homogenní prostory, foliace a jejich fyzikální aplikace

   Student se bude věnovat teorii homogenních prostorů a foliací v souvislosti s dalšími geometrickými strukturami, jmenovitě Lieovými grupami, konexemi a některými typy bandlových funktorů. Z hlediska aplikací se lze kromě mechaniky kontinua zaměřit i na jiný vybraný obor fyziky.

   Školitel: Tomáš Jiří, doc. RNDr., Dr.

8. Kvalitativní vlastnosti diskrétních dynamických systémů

   Diskrétní dynamické systémy mají nezastupitelnou úlohu při modelování řady dějů a procesů nejen z technické praxe, kde je nezbytné uvažovat nezávisle proměnnou nikoliv spojitou, ale diskrétní. Tyto systémy vykazují řadu odlišností vůči svým spojitým protějškům. Analýza kvalitativních vlastností, zejména pak stability řešení, má zásadní význam z hlediska predikce chování uvažovaného modelu, případně jeho řízení.

   Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

9. Matematické modelování dynamických systémů

   Mnoho problémů technická praxe je možno popsat a kvalitativně vyšetřovat prostřednictvím dynamických systémů. Vytvoření adekvátního modelu vyžaduje důslednou analýzu problému a orientaci v příslušném technickém oboru. Zahrnutí mnoha detailních faktorů (nemajících významný vliv na model) zpravidla komplikuje tvar i následné vyšetřování modelu, zatímco zanedbání některých významných vlivů může znehodnotit získanou analýzu. Získané výsledky je pak pro validaci modelu nutno konfrontovat s reálnými daty. Podstatou práce je získání znalostí a zkušeností z matematické a numerické analýzy pro účely formulace matematických modelů technické praxe a jejich numerickému zpracování a interpretaci.

   Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

10. Metody numerického zpracování experimentálních dat pro zobrazovací spektroskopickou reflektometrii v rámci optické charakterizace tenkých pevných vrstev

    Obsahem práce je nalézt efektivní výpočetní algoritmy zpracování velkých souborů experimentálních dat získaných zobrazovacím spektroskopickým reflektometrem (postaveným v Laboratoři koherenční optiky ÚFI FSI VUT v Brně) z neuniformních tenkých vrstev pro určení optických parametrů těchto vrstev. Cílem je realizovat výše zmíněné algoritmy ve formě softwaru.

    Školitel: Ohlídal Miloslav, prof. RNDr., CSc.

11. Numerické metody analýzy prostorových objektů

    Hlavním úkolem práce je vývoj numerických metod analýzy distribuce dutých vláken v tepelných výměnících. Prostorové chaotické rozložení, orientace a vzájemná interakce těchto vláken ovlivňuje účinnost tepelného výměníku. Dalším úkolem je najít a popsat vhodnou distribuci vláken s ohledem na účinnost tepelného výměníku. Pro řešení této problematiky bude nutné vytvořit speciální aplikační software.

    Školitel: Štarha Pavel, doc. Ing., Ph.D.

12. Periodická řešení nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu

    Budeme se věnovat otázkám existence periodických řešení nelineárních diferenciálních druhého řádu. Zaměříme se zejména na rovnice, které se vyskytují v matematických modelech některých procesů v mechanice. Typickým představitelem takových rovnic je neautonmní Duffingova diferenciální rovnice, kterou získáme například při aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích některých buzených oscilátorů.

    Školitel: Šremr Jiří, doc. Ing., Ph.D.

13. Prvky autonomního řízení s využitím geometrických algeber

    Součástí autonomního řízení je kromě vlastního řízení i analýza vnějších informací pro zpětnou vazbu. Jednat se může o obrazová, zvuková nebo jiná senzorická data (obecně signál), která je třeba zpracovat, vyhodnotit a rozhodnout o dalším směru řízení. Ve všech zmíněných činnostech lze s úspěchem využít geometrické algebry.

    Školitel: Vašík Petr, doc. Mgr., Ph.D.