Detail předmětu

Matematika 3

FEKT-KMA3PovinnýBakalářský (první cyklus)Ak. rok: 2017/2018Zimní semestr2. ročník5  kreditů

Obsahem předmětu jsou základy dvou matematických disciplín: pravděpodobnosti a numerických metod.
Po seznámení se základními pojmy je v pravděpodobnosti hlavní pozornost zaměřena na náhodné veličiny diskrétního a spojitého typu. Závěr kurzu pravděpodobnosti je věnován testování statistických hypotéz.
V části numerické metody se probírá řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování a nakonec numerické řešení diferenciálních rovnic.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- aproximovat binomické rozdělení pomocí normálního rozdělení
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti
- najít přibližné řešení diferenciální rovnice na zadaném intervalu Eulerovou metodou, 1. a 2. modifikací Eulerovy metody a metodami Runge-Kutta vyšších řádů

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly. Z předmětů KMA1, KMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Závěrečná písemná zkouška je hodnocena až 70 body, práce během semestru je hodnocena až 30 body.
Práce během semestru se skládá z 5 samostatných prací (po každém tutoriálu) hodnocených vždy až 4 body a 2 samostatných prací z počítačových cvičení hodnocených vždy až 5 body.
Zkouška se skládá ze 7 příkladů se stejným maximálním bodovým hodnocením 10 bodů. Minimálně 3 příklady se týkají numerických metod a minimálně 3 příklady se týkají pravděpodobnosti a statistiky.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

Výuka probíhá formou 5 tutoriálů a 2 počítačových cvičení:

Tutoriál č.1: Úvodní tutoriál. Numerické metody I.
Tutoriál č.2: Numerické metody II.
Počítačové cvičení: Seznámení s programem Matlab, ukázky a řešení příkladů.
Tutoriál č.3: Dokončení numerických metod. Pravděpodobnost a statistika I.
Tutoriál č.4: Pravděpodobnost a statistika II.
Počítačové cvičení: Ukázky a řešení příkladů.
Tutoriál č.5: Opakování učiva, závěrečné konzultace, informace o zkoušce a příprava na ni.

Podrobný obsah tutoriálů 1-4 vychází z následující osnovy předmětu BMA3:

1. Základy popisné statistiky.
2. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
3. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl).
4. Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo).
5. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení.
6. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Aproximace binomického rozdělení normálním.
7. Úvod do statistiky. U-test. Test střední hodnoty průměru z normálního rozdělení při známém rozptylu.
8. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace)
9. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
10. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický)
11. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
12. Numerická integrace (lichoběžníková a Simpsonova metoda).
13. Numerické řešení diferenciálních rovnic: počáteční úlohy (Eulerova metoda a její modifikace, metody Runge-Kutta), okrajové úlohy (pouze informativně).

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu, příp. garanta kombinovaného studia.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení na poč.

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ostatní aktivity

12 hod., povinná

Vyučující / Lektor

eLearning