Detail předmětu

Aplikovaná harmonická analýza

FSI-9AHAAk. rok: 2016/2017Letní semestr2  kredity

Obecná teorie generujících systémů v separabilních Hilbertových prostorech: ortonormální báze (ONB), Rieszovy báze (RB) a frejmy (angl frames).
Související operátory (rekonstrukční, diskretizační aj.). Vlastnosti a charakterizační věty. Kanonická dualita. Užitečné konstrukce a algoritmy založené na užití teorie pseudoinverzních operátorů. Speciální frejmy (Gabor, wavelet) a jejich aplikace.

Výsledky učení předmětu

Získání základů z moderní teorie harmonické analýzy. Osvojení dovedností, které umožní studentům doktorského studia efektivní využití těchto přístupů při modelování a výzkumu reálných systémů s využitím výpočetní techniky.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet, lineární funkcionální analýza.

Doporučená nebo povinná literatura

S.S. Chen, D.L. Donoho and M. Saunders: Atomic decomposition by Basis
O. Christensen: An Introduction to Frames and Riesz bases. Birkhäuser 2003
A. Teolis: Computational Signal processing with wavelets. Birkhäuser 1998
G.G. Walter: Wavelets and other orthogonal systems with Applications.
Ch. K. Chui: An Introduction to wavelets. Academic Press 1992
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets. SIAM 1992
Y. Meyer: Wavelets and operators. Cambridge University Press 1992
H.G. Feichtinger and T. Strohmer: Gabor Analysis and Algorithms. Theory

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Seminární referáty a ústní zkouška.

Jazyk výuky

čeština, angličtina

Cíl

Seznámit posluchače doktorského studia s posledními výsledky moderní harmonické analýzy a možnostmi jejich využití při řešení praktických úloh funkcionálního modelování v abstraktních prostorech, zejména l^2(J) (prostory diskrétních signálů včetně obrazů), L^2(R) (prostory analogových signálů) a L^2(Omega;A;P) (stochastické lineární modely časových řad). Pozornost bude také věnována problematice hledání numericky stabilních řídkých řešení v modelech s velkým množstvím parametrů.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Pseudoinverzní operátory v Hilbertových prostorech
2. Přechod od ortonormálních bází (ONB) k Rieszovým bázím (RB) a frejmům
3. Diskretizační, rekonstrukční, korelační a frejmový operátor
4. Charakterizace ONB, RB a frejmů. Princip duality
5. Vybrané algoritmy řešení inverzních úloh, problém numerické nestability při přeparametrizování (overcomplete frames)
6. Některé speciální prostory a jejich vlastnosti
7. Některé speciální operátory a jejich vlastnosti
8. Gaborovy frejmy
9. Waveletové frejmy
10. Analýza víceúrovňového rozlišení (angl. Multiresolution analysis)
11. Rezerva
Seminář: formou referátů studentů k tématům přidělených k samostudiu pokud možno ve vazbě na téma dizertační práce