Detail předmětu

Funkcionální analýza II

FSI-SU2PovinnýMagisterský navazující (druhý cyklus)Ak. rok: 2016/2017Zimní semestr1. ročník3  kredity

Opakování látky z Funkcionální analýzy I. Teorie ohraničených lineárních operátorů.
Kompaktní množiny a operátory. Inverze a pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů.
Bázové systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy.
Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů.

Výsledky učení předmětu

Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.

Způsob realizace výuky

90 % kontaktní výuka, 10 % distančně

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet. Základy lineární algebry, Fourierovy analýzy a funkcionální analýzy.

Doporučená nebo povinná literatura

L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999.
L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza,
A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984.
A.E.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973.
M. Švec: Integrálne rovnice, skripta MFF UK, Bratislava
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011.
A.W.Naylor, G.R.Sell: Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách, Alfa, Bratislava 1971
A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999.
I.G.Petrovskij: Lekcii po teorii integralnych uravnenii,

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Klasifikovaný zápočet: samostatné hlubší zpracovaní vybraného tématu a zodpovězení kontrolních otázek z teorie.

Jazyk výuky

čeština

Cíl

Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Opakování: topologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem,
přímý součet a faktorprostor
2. Opakování: duální prosory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta,
slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Bázové systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek na konkrétních příkladech běžných funkcionálních prostorů a operátorů.