Detail předmětu

Matematická logika

FSI-SMLPovinnýMagisterský navazující (druhý cyklus)Ak. rok: 2016/2017Letní semestr1. ročník5  kreditů

V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti.

Výsledky učení předmětu

Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.

Způsob realizace výuky

90 % kontaktní výuka, 10 % distančně

Prerekvizity

Předpokládá se znalost předmětů Obecná algebra a Metody diskrétní matematiky z balkalářského studia.

Doporučená nebo povinná literatura

E.Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001
J.Rachůnek, Logika, skriptum PřF UP Olomouc, 1986
J.Rachůnek, Logika, skriptum PřF UP Olomouc, 1986
A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993
Vítězslav Švejnar, Logika - neúplnost,složitost a nutnost, Academia Praha, 2002
G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Zápočet bude udělen na základě aktivní účasti ve cvičení a úspěšného složení písemného testu v půli semestru. Zkouška proběhne písemnou formou na konci semestru.

Jazyk výuky

čeština

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v matematice a informatice.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Bude kontrolována účast na cvičeních.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Úvod do matematické logiky
2. Výroky a jejich pravdivost, logické spojky
3. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
4. Princip duality, aplikace výrokové logiky
5. Formální systém výrokové logiky
6. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
7. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
8. Sémantika predikátové logiky
9. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
10. Dokazatelnost v predikátové logice
11. Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
12.Teorie 1. řádu a jejich modely
13.Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Relační systémy a univerzální algebry
2. Množiny, kardinální čísla a kardinální aritmetika
3. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
6. Termy a formule predikátové logiky
7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
10.Převody formulí na prenexní tvar
11.Teorie 1. řádu a jejich modely
12.Monadické logiky SkS a WSkS
13.Intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika