Detail předmětu

Moderní metody řešení diferenciálních rovnic

FSI-SDRPovinnýMagisterský navazující (druhý cyklus)Ak. rok: 2016/2017Letní semestr2. ročník5  kreditů

Předmět podává přehled moderních metod řešení diferenciálních rovnic založených na funkcionální analýze. Předmet se zabývá následujícími okruhy: Přehled prostorů funkcí s integrovatelnými derivacemi. Lineární eliptické rovnice: slabá a variační formulace okrajových úloh, existence a jednoznačnost řešení, přibližná řešení a jejich konvergence. Specifika nelineárních úloh. Slabá a variační formulace nelineárních koercivních úloh, existence řešení. Aplikace na vybrané rovnice matematické fyziky. Úvod do stochastických diferenciálních rovnic.

Výsledky učení předmětu

Studenti získají orientaci v zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh pro parciální i obyčejné diferenciální rovnice a konstrukci přibližných řešení používaných pro numerické výpočty. Získají také představu o stochastickém integrálu a stochastických diferenciálních rovnicích.

Způsob realizace výuky

90 % kontaktní výuka, 10 % distančně

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více reálných proměnných, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza a prostory funkcí, teorie pravděpodobnosti.

Doporučená nebo povinná literatura

J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, Akad. nakl. CERM, Brno 2006 (CS)
S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980.
K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp., 1980.
K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 1995. (CS)
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012.
S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha 1978. (CS)
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin 2000.
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. (EN)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Zápočet: aktivní účast ve výuce.
Zkouška - praktická část testuje schopnost vzájemně převádět slabou, variační a klasickou formulaci konkrétní nelineární okrajové úlohy a analyzovat její zobecněné řešení. Teoretická část obsahuje 4 otázky z přednesené látky.

Jazyk výuky

čeština

Cíl

Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních metod řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice založených na prostorech funkcí a funkcionální analýzy včetně konstrukce přibližných řešení.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Pří nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Motivace. Přehled vybraných prostředků funkcionální analýzy.
2. Lebesgueovy prostory, zobecněné funkce, popis hranice oblasti.
3. Sobolevovy prostory, různá zavedení, věty o vnoření a o stopách, duální prostory.
4. Slabá formulace lineárních eliptických rovnic.
5. Laxovo-Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost řešení.
6. Variační formulace, konstrukce přibližných řešení.
7. Specifika nelineárních úloh, různé nelinearity. Němyckého operátory.
8. Slabá a variační formulace stacionárních nelineárních rovnic.
9. Monotónní operátory a jejich použití.
10. Aplikace metod na vybrané rovnice matematické fyziky.
11. Úvod do stochastických diferenciánlních rovnic. Brownův pohyb.
12. Itoův integrál a Itoova formule. Řešení stochastických diferenciálních rovnic.
13. Rezerva.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Ilustrace pojmů na příkladech a použití vět a teoretických výsledků z přednášek
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích matematické fyziky.