Detail předmětu

Matematika 3

FEKT-BKC-MA3Ak. rok: 2021/2022

Obsahem předmětu jsou základy dvou matematických disciplín: pravděpodobnosti a numerických metod.
Po seznámení se základními pojmy je v pravděpodobnosti hlavní pozornost zaměřena na náhodné veličiny diskrétního a spojitého typu. Závěr kurzu pravděpodobnosti je věnován testování statistických hypotéz.
V části numerické metody se probírá řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- konstruovat odhady neznámých parametrů známých rozdělení
- odhadovat parametry rozdělení pravděpodobnosti metodou maximální věrohodnosti
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou
- u všech výše uvedených metod popsat jejich princip, vybrat vhodnou metodu pro řešení zadané úlohy, rozhodnout o její konvergenci a zdůvodnit svůj postup řešení.

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly.
Z předmětů BMA1, BMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování zahrnují přednášky, cvičení na počítači a ostatní aktivity.

Způsob a kritéria hodnocení

Závěrečná písemná zkouška je hodnocena až 70 body, práce během semestru je hodnocena až 30 body.

Práce během semestru se skládá ze samostatných prací (po každém tutoriálu, tj. 4x5 bodů) a 2 samostatných prací z počítačových cvičení, tj. 2x5 bodů.

Zkouška se skládá ze 7 příkladů se stejným maximálním bodovým hodnocením 10 bodů. Minimálně 3 příklady se týkají numerických metod a minimálně 3 příklady se týkají pravděpodobnosti a statistiky. Ke zkoušce je povolená kalkulačka a nejvýše 3 listy formátu A4 vlastních poznámek.

Osnovy výuky

1. Úvod do numerických metod. Numerické řešení soustav lineárních rovnic.
2. Numerické řešení nelineárních rovnic a jejich soustav.
3. Interpolace: interpolační polynom, splajn
4. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování a integrování.
5. Základy teorie pravděpodobnosti.
6. Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky
7. Náhodné vektory a jejich číselné charakteristiky
8. Významná rozdělení pravděpodobnosti
9. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta.
10. Úvod do statistiky, statistické zpracování dat.
11. Bodové a intervalového odhady. Metoda momentů, metoda maximální věrohodnosti.
12. Testování hypotéz o střední hodnotě a rozptylu, testy dobré shody.
13. Testy korelace, neparametrické testy.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění viz obecné informace o kombinované formě studia.

Základní literatura

FAJMON, B., HLAVIČKOVÁ, I., NOVÁK, M. Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2013 (CS)

eLearning

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BKC-EKT bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BKC-MET bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BKC-TLI bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Viz "Osnovy výuky". Výuka je rozdělena do několika tutoriálů a laboratorních cvičení.

Cvičení odborného základu

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Viz "Osnovy výuky". Výuka je rozdělena do několika tutoriálů a laboratorních cvičení.

Cvičení s počítačovou podporou

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Viz "Osnovy výuky". Výuka je rozdělena do několika tutoriálů a laboratorních cvičení.

Projekt

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Viz "Osnovy výuky". Výuka je rozdělena do několika tutoriálů a laboratorních cvičení.

eLearning