Detail předmětu

Moderní matematické metody v informatice

FIT-MIDAk. rok: 2019/2020

Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
 
Okruhy otázek k SDZ:

  1. Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
  2. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
  3. Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
  4. Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
  5. Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
  6. Polosvazy, svazy a úplné svazy.
  7. Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
  8. Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
  9. Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
  10. Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.

 
 

 

Výsledky učení předmětu

Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci. 
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.

Prerekvizity

Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.

Doporučená nebo povinná literatura

G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002
J.L. Kelley, general Topology, Van Nostrand, 1955.
G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008
B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices ad Order, Cambridge University Press, 1990
P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
S. Willard, General Topology, Dover Publications, Inc., 1970
N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.

Způsob a kritéria hodnocení

Testy během semestru

Jazyk výuky

čeština

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova


  1. Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
  2. Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
  3. Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
  4. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
  5. Svazy a svazové homomorfismy.
  6. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace 
  7. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice 
  8. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. 
  9. Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice. 
  10. Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy. 
  11. Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech. 
  12. Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie. 
  13. Digitální topologie, Khalimského topologie.