Detail předmětu

Vektorový a maticový počet

FEKT-BPC-VMPAk. rok: 2019/2020

V části vektorového počtu je pozornost zaměřena na vektorové prostory, základní pojmy, lineární kombinace vektorů,lineární závislost,nezávislost vektorů, báze, dimenze vektorového prostoru. Zavedení skalárního součinu umožňuje vysvětlit ortogonalizací vektorů a hledat ortogonální průmět vektoru na podprostor a aplikovat tyto znalosti přiřešení sporných systémů a metodě nejmenších čtverců. V části maticového počtu jsou studenti seznámeni s maticovou algebrou, jsou studovány vlastní čísla a vlastní vektory a jejich užití k diagonalizaci matic a výpočtu maticových funkcí a jejich aplikace. Dále je diskutována definitnost matic.
V části numerických metody se probírá řešení nelineárních rovnic a maticových soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

- rozhodnout, zda vektory jsou lineárně nezávislé a zda tvoří bázi vektorového prostoru ( v reálném i komplexním oboru)
- sčítat a násobit matice, spočítat determinant čtvercové matice do řádu 4x4, spočítat hodnost matice a inverzní matici
- vyřešit soustavu lineárních rovnic
- vypočítat vlastní čísla a vektory matice
- analyzovat typ matice pomocí vlastních čísel
- vypočítat exponenciálu matice pro jisté třídy matic
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti vektorového počtu v reálném a komplexním oboru na úrovni střední školy.

Doporučená nebo povinná literatura

FAJMON, B., HLAVIČKOVÁ, I., NOVÁK, M., Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2013 (CS)
SCHMIDTMAYER, J., Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1974 (CS)
BERNSTAIN, D.S., Matrix Mathematics, Princenton University Press, New Jersey, 2005, ISBN:0-691-11802-7 (CS)
HRUZA, B., MRHAČOVÁ, H., Cvičení z algebry a geometrie. Ediční stř. VUT 1993, skriptum. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Vyučovací metody zahrnují přednášky, cvičení odborného základu a cvičení s poč. podporou.

Způsob a kritéria hodnocení

Práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (tyto body je možné získat za písemky, domácí úkoly). Dále je možné získat maximálně 10 prémiových bodů za prémiové domácí úkoly, doplňkové teoretické otázky a vyšší aktivitu ve cvičení.
Pro získání zápočtu student musí mít alespoň 10 bodů. Kdo bude mít sice méně než 10, ale alespoň 8, může si jednu písemku na konci semestru opravit.
Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Skládá se z příkladů na prověření osvojení algoritmů a 2 teoretických otázek (1 z maticového počtu a 1 z numerických metod).
Pro úspěšné složení zkoušky musí student získat aspoň 10 bodů z části Maticový počet a aspoň 10 bodů z části Numerické metody.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Vektory, vektorové prostory.
2. Matice, algebra matic, determinant matice.
3. Systémy lineárních rovnic.
4. Vlastní čísla a vektory matice.
5. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
6. Hermitovské a unitární matice.
7. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel.
8. Maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
9. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace).
10. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
11. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický).
12. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
13. Numerické integrování.

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vektorového a maticového počtu v reálném i komplexním oboru a základními numerickými metodami řešení systémů rovnic.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-AMT bakalářský, 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
  • Program BPC-SEE bakalářský, 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

  • Program EEKR-CZV celoživotní vzdělávání (není studentem)

    obor ET-CZV , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení odb. zák.

12 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Cvičení s poč. podporou

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor