Detail předmětu

Matematika 3

FEKT-BKC-MA3Ak. rok: 2019/2020

Obsahem předmětu jsou základy dvou matematických disciplín: pravděpodobnosti a numerických metod.
Po seznámení se základními pojmy je v pravděpodobnosti hlavní pozornost zaměřena na náhodné veličiny diskrétního a spojitého typu. Závěr kurzu pravděpodobnosti je věnován testování statistických hypotéz.
V části numerické metody se probírá řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- konstruovat odhady neznámých parametrů známých rozdělení
- odhadovat parametry rozdělení pravděpodobnosti metodou maximální věrohodnosti
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti
- najít přibližné řešení diferenciální rovnice na zadaném intervalu Eulerovou metodou, 1. a 2. modifikací Eulerovy metody a metodami Runge-Kutta vyšších řádů

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly. Z předmětů BMA1, BMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování zahrnují přednášky, cvičení na počítači a ostatní aktivity.

Způsob a kritéria hodnocení

Práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (tyto body je možné získat za písemky, domácí úkoly a doplňkové teoretické otázky). Dále je možné získat maximálně 10 prémiových bodů za prémiové domácí úkoly a vyšší aktivitu ve cvičení.
Pro získání zápočtu student musí mít alespoň 10 bodů za písemky. Kdo bude mít sice méně než 10, ale alespoň 5, může si jednu písemku na konci semestru opravit.
Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Skládá se z několika příkladů a 2 teoretických otázek (1 z pravděpodobnosti a 1 z numerických metod).
Pro úspěšné složení zkoušky musí student získat aspoň 10 bodů z části PRAVDĚPODOBNOST a aspoň 10 bodů z části NUMERICKÉ METODY.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
2. Náhodné veličiny, náhodný vektor, distribuční funkce.
3. Charakteristiky náhodných veličin, základní typy rozdělení.
4. Charakteristiky náhodných vektorů, kovariance, korelace.
5. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta.
6. Úvod do statistiky, histogram, bodové a intervalového odhady.
7. Metoda momentů, metoda maximální věrohodnosti.
8. Testování hypotéz o střední hodnotě a rozptylu, testy dobré shody.
9. Testy korelace, neparametrické testy.
10. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace)
11. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
12. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický)
13. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování a integrování.

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BKC-EKT bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
  • Program BKC-MET bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný
  • Program BKC-TLI bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení odb. zák.

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Cvičení s poč. podporou

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ostatní aktivity

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor