Detail předmětu

Numerical Computations with Partial Differential Equations

FEKT-DTE2AAk. rok: 2018/2019

The content of the seminar consists of two related units. The first part deals with the numerical solution of the partial differential equations (PDE), exploiting the Finite Difference method (FDM) and the Finite Element Method. The following PDE are solved by these methods: Laplace’s, Poisson’s, Helmholtz’s, parabolic, and hyperbolic one. The boundary and initial condition as well as the material parameters and source distribution is supposed to be known (forward problem). The connections between the field quantities and the connected circuits as well as the coupled problems are discussed to the end of this part.
The above mentioned FDM and FEM solutions are applied in the second part of the seminar to the evaluation of material parameters of the PDE’s implementing them as a part of the loop of different iterative processes. As the initial values are chosen either some measured data or starting data. The numerical methods utilizing PDE are used for the solution of the optimization problems (finding optimal dimensions or materiel characteristics) and inverse problems (different variants of a tomography known as the Electrical Impedance Tomography, the NMR tomography, the Ultrasound tomography). Each topic is illustrated by practical examples in the ANSYS and MATLAB environment.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

4

Výsledky učení předmětu

To acquire theoretical knowledge as well as practical application of the FEM and FDM together with the ability to program corresponding forward and inverse problems.

Prerekvizity

Mathematical calculus, Physics, Electromagnetism on the level of MSc.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Metody vyučování zahrnují přednášky kombinované se semináři. Předmět využívá e-learning (Moodle).

Způsob a kritéria hodnocení

Celkové hodnocení předmětu 100 bodů.

Osnovy výuky

Introduction to the functional analysis, differential operators, survey of the partial differential equations. Boundary and initial conditions. Finite difference methods (FDM).
Finite element methods (FEM). – introduction. Discretization of a region into the finite elements. Approximation of the field from the nodal or edge values.
Forward problem. Setup of equations for nodal and edge values by the Galerkin method.
Application of the Galerkin method to the static and quasistatic fields (Poisson’s and Helmholtz’s equation).
Application of FEM and FDM on the time variable problems (the diffusion and wave equation).
Connection of the field region with the lumped parameter circuit. Coupled problems.
The field optimization problem. Survey of the deterministic methods. The local and global minima.
Unconstrained problems – gradient method, method of the steepest descent, Newton’s methods.
Constrained optimization problems together with FEM.
Inverse problems for the elliptic equations. The Least Square method. Deterministic regularization methods.
A survey on level set methods for inverse problems and optimal design.
A survey on inverse problems in tomography.
A note: Practical examples using the ANSYS and MATLAB environment will be a part of each point of the curriculum.

Učební cíle

Introduction to the functional analysis, differential operators, survey of the partial differential equations. Boundary and initial conditions. Finite difference methods (FDM).
Finite element methods (FEM). – introduction. Discretization of a region into the finite elements. Approximation of the field from the nodal or edge values.
Forward problem. Setup of equations for nodal and edge values by the Galerkin method.
Application of the Galerkin method to the static and quasistatic fields (Poisson’s and Helmholtz’s equation).
Application of FEM and FDM on the time variable problems (the diffusion and wave equation).
Connection of the field region with the lumped parameter circuit. Coupled problems.
The field optimization problem. Survey of the deterministic methods. The local and global minima.
Unconstrained problems – gradient method, method of the steepest descent, Newton’s methods.
Constrained optimization problems together with FEM.
Inverse problems for the elliptic equations. The Least Square method. Deterministic regularization methods.
A survey on level set methods for inverse problems and optimal design.
A survey on inverse problems in tomography.
A note: Practical examples using the ANSYS and MATLAB environment will be a part of each point of the curriculum.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

The content and forms of instruction in the evaluated course are specified by the lecturer responsible for the course.

Základní literatura

Rektorys Karel: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, 1995 (CS)
Dědek, L., Dědková J.: Elektromagnetismus. Skripta VUTIUM Brno, 2000 (CS)
Bossavit Alain.: Computational Electromagnetism – Variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press, 1998 (EN)
Sadiku Mathew: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)
Chari, M, V. K., Salon S. J.: Numerical Methods in Electromagnetism. Academic Press, 2000 (EN)

Doporučená literatura

IEEE Transactions on Magnetics, ročník 1996 a výše (EN)
SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 1996 a výše (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-BEB , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-BEB , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PKA-KAM , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-KAM , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-EST , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-EST , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-MVE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-MVE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PPA-MET , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-MET , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-FEN , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-FEN , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PKA-SEE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-SEE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-TLI , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PPA doktorský

    obor PPA-TLI , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PPA-TEE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PKA doktorský

    obor PKA-TEE , 1. ročník, letní semestr, volitelný oborový

Typ (způsob) výuky

 

Seminář

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
Metoda konečných diferencí (MKD).
Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
Sdružené úlohy.
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
Použití inverzních úloh v tomografii.
Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.