Detail předmětu

Matematika

ÚSI-ESMATAk. rok: 2018/2019

Základní matematické pojmy, funkce, posloupnosti, řady. Vektory (kombinace, závislost a nezávislost vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru). Matice a determinanty. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, limita, spojitost, derivace funkce. Derivace vyšších řádů, Taylorova věta, L'Hospitalovo pravidlo, průběh funkce. Integrální počet funkcí jedné proměnné, primitivní funkce, neurčitý integrál. Metoda per partes, substituční metoda. Určitý integrál a jeho aplikace. Základy popisné statistiky. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl). Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo, rovnoměrné). Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Testování statistických hypotéz (t-test).

Výsledky učení předmětu

Student by po absolvování předmětu měl být schopen:
- rozhodnout, zda vektory jsou lineárně nezávislé a zda tvoří bázi vektorového prostoru;
- sčítat a násobit matice, spočítat determinant čtvercové matice, spočítat hodnost matice a inverzní matici;
- vyřešit soustavu lineárních rovnic;
- určovat definiční obory a načrtnout grafy elementárních funkcí;
- spočítat limity a asymptoty funkce jedné proměnné, používat L’Hospitalovo pravidlo na výpočet limit;
- derivovat funkce, určit rovnici tečny ke grafu funkce, napsat Taylorův polynom funkce v daném bodě;
- načrtnout graf funkce včetně extrémů, inflexních bodů a asymptot;
- integrovat pomocí základních metod integrování, jako jsou substituce a per partes;
- počítat určitý integrál, použít substituci i per partes pro výpočet určitého integrálu z funkce;
- spočítat obsah plochy pomocí určitého integrálu;
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- provést některé jednoduché statistické testy (t-test)

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia.

Korekvizity

Není specifikováno.

Doporučená nebo povinná literatura

Krupková, V., Fuchs, P.,: Matematika 1. Elektronický text FEKT VUT, Brno (CS)
Fajmon, B., Hlavičková, I., Novák, M. Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno (CS)
Kolářová, E: Matematika 1 - Sbírka úloh (CS)
Švarc, S. a kol., Matematická analýza I, PC DIR, Brno, 1997. (CS)
Brabec B., Hrůza,B., Matematická analýza II, SNTL, Praha, 1986. (CS)
Neubauer, J., Sedlačík, M., Kříž, O.: Základy statistiky. Praha: Grada Publishing, 2012. (CS)
Likeš, J., Machek, J.: Matematická statistika. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1988. (CS)
Casella, G., Berger, R. L.: Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Duxbury Press, 2001. (EN)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Studijní výsledky jsou ověřovány písemně. Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Základní matematické pojmy, funkce, posloupnosti, řady.
2. Vektory (kombinace, závislost a nezávislost vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru).
3. Matice a determinanty.
4. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení.
5. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, limita, spojitost, derivace funkce.
6. Derivace vyšších řádů, Taylorova věta, L'Hospitalovo pravidlo, průběh funkce.
7. Integrální počet funkcí jedné proměnné, primitivní funkce, neurčitý integrál. Metoda per partes, substituční metoda.
8. Určitý integrál a jeho aplikace.
9. Základy popisné statistiky.
10. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
11. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl). Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo, rovnoměrné).
12. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta.
13. Testování statistických hypotéz (t-test).

Cíl

Předmět si klade za cíl seznámit posluchače se základními principy a metodami vyšší matematiky a pravděpodobnosti a statistiky, bez kterých se při studiu na VUT v Brně nelze obejít. Důraz je kladen na zvládnutí praktického použití těchto metod k řešení konkrétních úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EID_P magisterský navazující, 1. ročník, zimní semestr, 4 kredity, povinný
  • Program REI_P magisterský navazující, 1. ročník, zimní semestr, 4 kredity, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení s poč. podporou

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor