Detail předmětu

Matematika 2

CESA-SMA2Ak. rok: 2019/2020

Diferenciální počet reálné funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální derivace. Obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy, základní pojmy, příklady užití diferenciálních rovnic. Diferenční rovnice, základní pojmy. Diferenciální počet v komplexním oboru, holomorfní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, residuová věta. Laplaceova transformace a Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice. Signály se spojitým časem, spektrum signálu. Systémy a jejich matematický model. Řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací. Impulsní a frekvenční charakteristika.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Absolventi budou schopni
- řešit obyčejné diferenciální rovnice i s využitím znalosti o Laplaceově, Fourierově a Z-transformaci,
- vysvětlit základní pojmy teorie signálů a systémů jako deterministických signálů, signálů se spojitým časem, diskrétních signálů a matematického modelu systému se spojitým časem, jakožto i vstupně -výstupního popisu s využitím matematického aparátu
Způsob ověření znalostí stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu BMA1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat deefiniční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních metod integrování - integrace per partes, metodu substituce u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript BMA1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a některých základních kriterií jejich konvergence.

Doporučená nebo povinná literatura

HLÁVKA J., KLATIL J., KUBÍK S.: Komplexní proměnná v elektrotechnice. SNTL Praha 1990. (CS)
MELKES F., ŘEZÁČ M.: Matematika 2, FEKT VUT v Brně, UMAT (CS)
ŠKRASEK J., TICHÝ Z.: Základy aplikované matematiky II. SNTL Praha 1983. (CS)
KOLÁŘOVA E.: Matematika 2. Sbírka úloh. FEKT VUT v Brně, UMAT (CS)
ARAMANOVIČ, I.G., LUNC, G. L., ELSGOLC, L.E.: Funkcie komplexnej premennej, Operátorový počet, Teória stability (CS)
CHVALINA J:, SVOBODA Z., NOVAK M.: Matematika 2, FEKT VUT v Brně. UMAT (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Zejména se jedná o přednášky, semináře věnované řešení konkrétních úloh, individuální konzultace a studium doporučené literatury.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

Diferenciální počet reálné funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální derivace. Obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy, základní pojmy, příklady užití diferenciálních rovnic. Diferenční rovnice, základní pojmy. Diferenciální počet v komplexním oboru, holomorfní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, residuová věta. Laplaceova transformace a Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice. Signály se spojitým časem, spektrum signálu. Systémy a jejich matematický model. Řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací. Impulsní a frekvenční charakteristika.

1. Funkce více proměnných, zobrazení (limita, spojitost). Parciální derivace, gradient.
2. Obyčejné diferenciální rovnice a systémy diferenciálních rovnic. Základní pojmy a základy kvalitativní teorie (existence a jednoznačnost řešení DR, stabilita). Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, stabilita řešení.
3. Diferenční rovnice. Základní pojmy a základy kvalitativní teorie (existence a jednoznačnost řešení DR) Lineární difereční rovnice.
4. Funkce komplexní proměnné, derivace komplexní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
5. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a reziduová věta
6. Matematický aparát pro popis signálů. Distribuce, harmonické funkce, periodické funkce a Fourierova řada.
7. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Gramatika transformace. Aplikace
8. Přímá a zpětná Laplaceova transformace, souvislost s Fourierovou transformací. Gramatika transformace.
9. Aplikace Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic a jejich systémů.
10. Přímá a zpětná transformace Z. Použití Z transformace při řešení diferenčních rovnic.
11. Signály a jejich klasifikace.Signály se spojitým časem, periodický a harmonický signál, aperiodické signály, spektrum signálu.
12. Systémy -zavedení pojmu a klasifikace. Matematický model systému se spojitým časem a
řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací. Impulsní a frekvenční charakteristika.
13. Vazby mezi systémy - sériové, paralelní spojení systémů, zpětná vazba. Stabilita systémů.

Cíl

Cílem výuky je seznámit studenty v první části s některými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic a v druhé části s Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformací. Dále podat vysvětlení základních pojmů teorie signálů a systémů jako deterministických signálů, signálů se spojitým časem, diskrétních signálů a matematického modelu systému se spojitým časem, jakožto i vstupně -výstupního popisu s využitím matematického aparátu. Tato závěrečná část má připravit studenty ke studiu podrobnější literatury věnované zmíněné problematice.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Během semestru budou studenty vypracovány dva individuální projekty a hodnoceny dva písemné testy o celkovém součtu bodů 30.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-STC bakalářský, 1. ročník, letní semestr, 6 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Cvičení odb. zák.

6 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Cvičení na poč.

16 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ostatní aktivity

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor