čeština

5

- rozhodnout, zda vektory jsou lineárně nezávislé a zda tvoří bázi vektorového prostoru ( v reálném i komplexním oboru)
- sčítat a násobit matice, spočítat determinant čtvercové matice do řádu 4x4, spočítat hodnost matice a inverzní matici
- vyřešit soustavu lineárních rovnic
- určovat definiční obory a načrtnout grafy elementárních funkcí;
- vypočítat vlastní čísla a vektory matice
- analyzovat typ matice pomocí vlastních čísel
- vypočítat exponenciálu matice pro jisté třídy matic
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti

Student by měl být schopen aplikovat znalosti vektorového počtu v reálném a komplexním oboru na úrovni střední školy.

Vyučovací metody zahrnují přednášky, počítačová a numerická cvičení.

Práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (tyto body je možné získat za písemky, domácí úkoly a doplňkové teoretické otázky). Dále je možné získat maximálně 10 prémiových bodů za prémiové domácí úkoly a vyšší aktivitu ve cvičení.
Pro získání zápočtu student musí mít alespoň 10 bodů za písemky. Kdo bude mít sice méně než 10, ale alespoň 5, může si jednu písemku na konci semestru opravit.
Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Skládá se z příkladů (polovina z maticového počtu a polovina z numerických metod) a 2 teoretických otázek (1 z maticového počtu a 1 z numerických metod).
Pro úspěšné složení zkoušky musí student získat aspoň 10 bodů z části Maticový počet a aspoň 10 bodů z části Numerické metody.

1. Vektory, vektorové prostory.
2. Matice, algebra matic, determinant matice.
3. Systémy lineárních rovnic.
4. Vlastní čísla a vektory matice.
5. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
6. Hermitovské a unitární matice.
7. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel.
8. Maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
9. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace).
10. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
11. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický).
12. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
13. Numerické integrování.

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vektorového a maticového počtu v reálném i komplexním oboru a základními numerickými metodami řešení systémů rovnic.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

FAJMON, B., HLAVIČKOVÁ, I., NOVÁK, M., Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2013 (CS)

14 hod., povinná