Detail předmětu

Numerické úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi

FIT-DTE2Ak. rok: 2017/2018

Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR). Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky (UTEE)

Výsledky učení předmětu

Předmět nemá znalosti.

Prerekvizity

Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Osnovy výuky

Osnova přednášek:
  1. Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
  2. Metoda konečných diferencí (MKD).
  3. Metoda konečných prvků (MKP) - úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
  4. Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
  5. Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
  6. Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
  7. Sdružené úlohy.
  8. Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
  9. Nepodmíněné úlohy - metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
  10. Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
  11. Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
  12. Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
  13. Použití inverzních úloh v tomografii.

Osnova numerických cvičení:
Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.

Učební cíle

Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Výuka není kontrolována.

Doporučená literatura

  • Rektorys Karel: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, 1995 (CS)
  • Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP http://www.inverse-problems.com/ (EN)
  • IEEE Transactions on Magnetics, ročník 1996 a výše (EN)
  • Fotokopie nejnovějších výzkumných zpráv ze serverů zahraničních špičkových pracovišť ke studované problematice budou dodávány průběžně (EN)
  • SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 1996 a výše (EN)
  • metoda hladinových množin http://www.math.ucla.edu/applied/cam/index.html (EN)
  • Dědek, L., Dědková J.: Elektromagnetismus. Skripta VUTIUM Brno, 2000 (CS)
  • Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP (EN)
  • Bossavit Alain.: Computational Electromagnetism - Variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press, 1998 (EN)
  • Sadiku Mathew: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)
  • Chari, M, V. K., Salon S. J.: Numerical Methods in Electromagnetism. Academic Press, 2000 (EN)

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Osnova

  1. Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
  2. Metoda konečných diferencí (MKD).
  3. Metoda konečných prvků (MKP) - úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
  4. Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
  5. Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
  6. Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
  7. Sdružené úlohy.
  8. Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
  9. Nepodmíněné úlohy - metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
  10. Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
  11. Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
  12. Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
  13. Použití inverzních úloh v tomografii.