Detail předmětu

Mathematics 3

FEKT-CMA3Ak. rok: 2015/2016

Obsahem předmětu jsou základy dvou matematických disciplín: pravděpodobnosti a numerických metod.
Po seznámení se základními pojmy je v pravděpodobnosti hlavní pozornost zaměřena na náhodné veličiny diskrétního a spojitého typu. Závěr kurzu pravděpodobnosti je věnován testování statistických hypotéz.
V části numerické metody se probírá řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování a nakonec numerické řešení diferenciálních rovnic.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

5

Zajišťuje ústav

Nabízen zahradničním studentům

Pouze domovské fakulty

Výsledky učení předmětu

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- aproximovat binomické rozdělení pomocí normálního rozdělení
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti
- najít přibližné řešení diferenciální rovnice na zadaném intervalu Eulerovou metodou, 1. a 2. modifikací Eulerovy metody a metodami Runge-Kutta vyšších řádů

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly.
Z předmětů CMA1, CMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body, práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (dva testy po nejvýše 15 bodech).

Osnovy výuky

1. Základy popisné statistiky.
2. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
3. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl).
4. Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo).
5. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení.
6. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Aproximace binomického rozdělení normálním.
7. Úvod do statistiky. U-test. Test střední hodnoty průměru z normálního rozdělení při známém rozptylu.
8. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace)
9. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
10. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický)
11. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
12. Numerická integrace (lichoběžníková a Simpsonova metoda).
13. Numerické řešení diferenciálních rovnic: počáteční úlohy (Eulerova metoda a její modifikace, metody Runge-Kutta), okrajové úlohy (pouze informativně).

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Fajmon, B., Růžičková, R.: Matematika 3. Elektronický text UMAT FEKT, www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/bma3, 2003. (CS)
NOVÁK, M. Matematika 3: Sbírka úloh z numerických metod. Brno: FEKT VUT, 2010. (CS)
HLAVIČKOVÁ, I.; HLINĚNÁ, D. Matematika 3 - Sbírka úloh z pravděpodobnosti. Matematika 3 - Sbírka úloh z pravděpodobnosti. Brno: UMAT FEKT VUT, 2007. s. 1-77. (CS)

Doporučená literatura

Haluzíková, A.: Numerické metody. Skriptum FEI VUT Brno, 1989. (CS)
Zapletal, J.: Základy počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. Skriptum FEI VUT Brno, PC-DIR 1995. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EEKR-BC bakalářský

    obor BC-AMT , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor BC-EST , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor BC-MET , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor BC-SEE , 2. ročník, zimní semestr, povinný
    obor BC-TLI , 2. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Banachova věta o pevném bodu. Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro lineární systém rovnic.
2. Interpolační polynom, metoda nejmenších čtverců.
3. Splajn, numerické metody derivování.
4. Numerická integrace - lichoběžníková a Simpsonova metoda.
5. Řešení ODR - Eulerova metoda a její modifikace, metoda Runge-Kutta.
6. Řešení ODR - Eulerova metoda pro systém rovnic, metoda střelby, metoda konečných diferencí. Stihnou se vícekrokové metody?
7. Přehled modelů pravděpodobnosti (klasická
pravděpodobnost, geometrická pravděpodobnost,
diskrétní náhodná veličina, spojitá náhodná
veličina).
8. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny.
9. Binomické rozdělení pravděpodobnosti. Základní
principy statistického testu. Znaménkový test.
10.Poissonovo a exponenciální rozdělení
pravděpodobnosti. Využití v teorii front.
11.Rovnoměrné a normální rozdělení. Centrální
limitní věta. Aproximace binomického rozdělení normálním. U-test a jeho síla.
12.Test střední hodnoty průměru.

Cvičení odborného základu

12 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Klasická a geometrická pravděpodobnost.
2. Diskrétní a spojitá náhodná veličina.
3. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny.
4. Binomické rozdělení pravděpodobnosti, znaménkový test.
5. Poissonovo a exponenciální rozložení pravděpodobnosti, teorie front.
6. Rozdělení Ro, No. Aproximace Bi pomocí No. U-test.
(7.Test střední hodnoty průměru, síla testu.)

Cvičení na počítači

14 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Separace kořenů, bisekce, regula falsi.
2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda.
3. Systémy nelineárních rovnic, interpolační polynom.
4. Splajn, metoda nejmenších čtverců.
5. Numerické derivování a integrace.
6. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - Eulerova metoda, metoda Runge - Kutta, metoda konečných diferencí.