Detail předmětu

Matematika I/1

FAST-BA06Ak. rok: 2013/2014

Reálná funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita a spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce, průběh funkce.
Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, inverze matic, determinanty a jejich aplikace). Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Základy vektorového počtu. Lineární prostory. Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v E3).

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Pochopení základních pojmů diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Umět derivovat a řešit úlohu průběhu funkce.
Mít schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.

Prerekvizity

Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů. Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie ve třírozměrném euklidovském prostoru (parametrické rovnice přímky, obecná rovnice roviny, skalární součin vektorů a jeho použití při řešení metrických a polohových úloh). Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Doporučená nebo povinná literatura

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I. Praha, SNTL, 1987. (CS)
STEIN, S. K: Calculus and analytic geometry. New York, 1989. (EN)
LARSON, R.- HOSTETLER, R.P.- EDWARDS, B.H.: Calculus (with Analytic Geometry). Brooks Cole, 2005. (EN)
DANĚČEK, J. a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. CERM, 2003. (CS)
TRYHUK, V. - DLOUHÝ, O.: Modul GA01_M01 studijních opor předmětu GA01. FAST VUT, Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
kolektiv: Elektronické studijní opory. FAST VUT, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
NOVOTNÝ, J.: Základy lineární algebry. CERM, 2004. (CS)
DLOUHÝ, O., TRYHUK, V.: Diferenciální počet I. CERM, 2009. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Úspěšné absolvování naplánovaných kontrolních testů a odevzdání individuálních domácích úloh uložených učitelem. Nejsou povoleny neomluvené neúčasti studentů ve cvičení.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. (50 min.) - Složená a inverzní funkce. (50 min.)
Cv. Absolutní hodnota funkce. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. (50 min.) - Grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí. (50 min.)

2. Některé elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické funkce. (50 min.) – Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru. (50 min.)
Cv. Funkce složená a inverzní (cyklometrické funkce, logaritmické funkce). (50 min.) - Funkce zadané parametricky. Polynom. (50 min.)

3. Racionální funkce. (50 min.) - Posloupnost a její limita. (50 min.)
Cv. Rozřazovací test. (50 min.) - Polynom, znaménko polynomu. (50 min.)

4. Limita a spojitost funkce, základní věty. (50 min.) - Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. (50 min.)
Cv. Racionální funkce, znaménko racionální funkce, rozklad v parciální zlomky. (2x50 min.)

5. Derivace složené a inverzní funkce. (50 min.) - Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta. (50 min.)
Cv. Limita funkce. Derivace funkce (výpočet z definice) a její geometrický význam, procvičení základních vzorců a pravidel pro derivování. (2x50 min.)

6. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů. (50 min.) - Taylorova věta. (50 min.)
Cv. Derivace složené funkce. Procvičování základních vzorců a pravidel pro derivování, zjednodušování výsledků derivování. (2x50 min.)

7. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. (2x50 min.)
Cv. Derivace vyšších řádů. Taylorova věta. (50 min.) L` Hospitalovo pravidlo. (50 min.)

8. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. (50 min.) - Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. (50 min.)
Cv. Test I. (20 min.) Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. (80 min.)

9. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje. (50 min.) - Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. (50 min.)
Cv. Základní operace s maticemi. Elementární úpravy matice, hodnost matice, řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. (2x50 min.)

10. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. (50 min.) - Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů. (50 min.)
Cv. Výpočet determinantů užitím Laplaceova rozvoje a pravidel pro počítání s determinanty. (50 min.) Výpočet inverzní matice pro matice A(2,2), A(3,3) Jordanovou metodou -kalkul. (50 min.)

11. Vlastní čísla a vektory matice. (50 min.) - Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích. (50 min.)
Cv. Test II. (20 min.) Maticové rovnice. (40 min.) Vlastní čísla a vektory matice -kalkul. (40 min.)

12. Smíšený součin vektorů. Rovin

Cíl

Pochopit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládnout derivování a naučit se řešit úlohu průběhu funkce.
Schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-P-E-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 6 kreditů, povinný

  • Program B-K-C-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 6 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 6 kreditů, povinný

  • Program B-P-C-ST bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 6 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce.
2. Některé elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické funkce. Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru.
3. Racionální funkce. Posloupnost a její limita.
4. Limita a spojitost funkce, základní věty. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování.
5. Derivace složené a inverzní funkce. Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta.
6. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů. Taylorova věta.
7. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce.
8. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.
9. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje. Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic.
10. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů.
11. Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
12. Smíšený součin vektorů. Rovina v E3. Přímka v E3, úlohy polohy.
13. Úlohy metrické v E3. Plochy v E3.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Absolutní hodnota funkce. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. Grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí.
2. Funkce složená a inverzní (cyklometrické funkce, logaritmické funkce). Funkce zadané parametricky. Polynom.
3. Rozřazovací test. Polynom, znaménko polynomu.
4. Racionální funkce, znaménko racionální funkce, rozklad v parciální zlomky.
5. Limita funkce. Derivace funkce (výpočet z definice) a její geometrický význam, procvičení základních vzorců a pravidel pro derivování.
6. Derivace složené funkce. Procvičování základních vzorců a pravidel pro derivování, zjednodušování výsledků derivování.
7. Derivace vyšších řádů. Taylorova věta. L` Hospitalovo pravidlo.
8. Test I. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce.
9. Základní operace s maticemi. Elementární úpravy matice, hodnost matice, řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.
10. Výpočet determinantů užitím Laplaceova rozvoje a pravidel pro počítání s determinanty. Výpočet inverzní matice pro matice A(2,2), A(3,3) Jordanovou metodou -kalkul.
11. Test II. Maticové rovnice. Vlastní čísla a vektory matice -kalkul.
12. Použití skalárního a vektorového součinu při řešení úloh analytické geometrie v prostoru.
13. Smíšený součin. Zápočty.