Detail předmětu

Matematika I

FAST-BA01Ak. rok: 2013/2014

Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, inverze matic, determinanty a jejich aplikace). Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
Základy vektorového počtu. Lineární prostory.
Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v E3).
Reálná funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita a spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce, průběh funkce.
Primitivní funkce, neurčitý integrál, jeho vlastnosti a metody výpočtu. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice - obsah rovinného obrazce, délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště.
Funkce dvou a více proměnných. Limita a spojitost, parciální derivace, implicitní funkce, totální diferenciál, Taylorův rozvoj, extrémy funkcí - lokální a vázané, absolutní extrémy; derivace ve směru, gradient.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student pochopí základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládne kalkul derivování a naučí se řešit úlohu průběhu funkce.
Zvládne počítání s maticemi, elementární úpravy a vyčíslení determinantů, řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (Gaussovou eliminační metodou, Cramerovým pravidlem a užitím inverzní matice). Seznámí se s užitím vektorového počtu v řešení úloh analytické geometrie v prostoru.
Zvládne principy integrování elementárních funkcí a počítání některých aplikací určitého integrálu. Zvládne parciální derivování funkcí více proměnných. Pochopí pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučí se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámí se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Prerekvizity

Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů. Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie ve třírozměrném euklidovském prostoru (parametrické rovnice přímky, obecná rovnice roviny, skalární součin vektorů a jeho použití při řešení metrických a polohových úloh). Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Doporučená nebo povinná literatura

BUDÍNSKÝ, B. - CHARVÁT, J.: Matematika I. Praha, SNTL, 1987. (CS)
LANG, S.: Calculus of several variables. Springer Verlag, New York, 1988. (EN)
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York, 1989. (EN)
DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O.: Integrální počet I. CERM Brno, 2003. (CS)
J. Daněček a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. Akademické nakladatelství CERM Brno, 2003. (CS)
H. Čermáková a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky II. Akademické nakladatelství CERM, 2003. (CS)
Kolektiv: Studijní opory předmětu BA01. FAST VUT, Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
TRYHUK, V. - DLOUHÝ, O.: Modul GA01_M01 studijních opor předmětu GA01. FAST VUT, Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] (CS)
NOVOTNÝ, J.: Základy lineární algebry. CERM, 2004. (CS)
DLOUHÝ, O.- TRYHUK, V.: Diferenciální počet I. CERM, 2004. (CS)
TRYHUK,V.- DLOUHÝ, O.: Diferenciální počet II. CERM, 2004. (CS)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT - přednášky, cvičení.

Způsob a kritéria hodnocení

Úspěšné absolvování naplánovaných kontrolních testů a odevzdání individuálních domácích úloh uložených učitelem. Nejsou povoleny neomluvené neúčasti studentů ve cvičení.

Jazyk výuky

čeština

Osnovy výuky

1. -P1: Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice.(50 minut) Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.(50) -P2: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice.(50) Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje.(50)
2. -P3: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic.(50) Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů.(50 minut) -P4: Vlastní čísla a vektory matice.(50) Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.(50)
3. -P5: Smíšený součin vektorů. Rovina v E3.(50) Přímka v E3, úlohy polohy.(50) -P6: Úlohy metrické v E3.(50) Plochy v E3.(50)
4. -P7: Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce.(50) Složená a inverzní funkce.(50)
-P8: Elementární funkce, cyklometrické funkce.(50) Hyperbolické a hyperbolometrické funkce.(50)
5. -P9: Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru.(50) Racionální funkce.(50)
-P10: Posloupnost a její limita.(50) Limita a spojitost funkce, základní věty.(50)
6. -P11: Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování.(50) Derivace složené a inverzní funkce.(50) -P12: Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta.(50) Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů.(50)
7. -P13: Taylorova věta.(50) L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce.(50) -P14: Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce.(50) Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.(50)
8. -P15: Integrace metodou per partes a substituční.(50) Integrace racionální funkce (bez rekurentního vzorce), vztahy pro integraci goniometrických funkcí.(50) -P16: Integrace goniometrických funkcí.(50) Integrace iracionálních funkcí.(50)
9. -P17: Newtonův a Riemannův integrál a jejich vlastnosti.(50) Metoda per partes a substituční pro určitý integrál.(50)
-P18: Geometrické aplikace určitého integrálu.(50) Technické aplikace určitého integrálu.(50)
10. -P19: Technické aplikace určitého integrálu.(50) Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce.(50)
-P20: Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných.(50) Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů.(50)
11. -P21: Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů.(50) Taylorův polynom.(50)
-P22: Lokální extrémy funkce dvou proměnných.(50) Implicitní funkce jedné proměnné.(50)
12. -P23: Implicitní funkce dvou proměnných.(50) Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy.(50)
-P24: Tečna a normálová rovina prostorové křivky.(50) Tečná rovina a normála plochy.(50)
13. -P25: Skalární pole, derivace ve směru, gradient.(50) Dokončení látky.(50) -P26: Shrnutí látky semestru, opakování, příprav

Cíl

Schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.
Pochopit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládnout derivování a naučit se řešit úlohu průběhu funkce. Pochopit a zvládnout principy integrování elementárních funkcí. Pochopit některé aplikace určitého integrálu (délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště). Seznámit se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-P-C-SI bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 0 kreditů, doporučený

  • Program B-P-C-ST bakalářský

    obor VS , 1. ročník, zimní semestr, 0 kreditů, doporučený

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

52 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. P1: Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. P2: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje.
2. P3: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů. P4: Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
3. P5: Smíšený součin vektorů. Rovina v E3. Přímka v E3, úlohy polohy. P6: Úlohy metrické v E3. Plochy v E3.
4. P7: Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce. P8: Elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické a hyperbolometrické funkce.
5. P9: Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru. Racionální funkce. P10: Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce, základní věty.
6. P11: Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. Derivace složené a inverzní funkce. P12: Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů.
7. P13: Taylorova věta. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. P14: Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce. Primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich vlastnosti.
8. P15: Integrace metodou per partes a substituční. Integrace racionální funkce (bez rekurentního vzorce), vztahy pro integraci goniometrických funkcí. P16: Integrace goniometrických funkcí. Integrace iracionálních funkcí.
9. P17: Newtonův a Riemannův integrál a jejich vlastnosti. Metoda per partes a substituční pro určitý integrál. P18: Geometrické aplikace určitého integrálu. Technické aplikace určitého integrálu.
10. P19: Technické aplikace určitého integrálu. Reálná funkce více proměnných. Základní pojmy, složená funkce. P20: Limity posloupností, limita a spojitost funkce 2 proměnných. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů.
11. P21: Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů. Taylorův polynom. P22: Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Implicitní funkce jedné proměnné.
12. P23: Implicitní funkce dvou proměnných. Některé věty o spojitých funkcích, vázané a absolutní extrémy. P24: Tečna a normálová rovina prostorové křivky. Tečná rovina a normála plochy.
13. P25: Skalární pole, derivace ve směru, gradient. Dokončení látky. P26: Shrnutí látky semestru, opakování, příprava ke zkoušce.

Cvičení

52 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. C1: Absolutní hodnota, řešení nerovnic. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. Grafy vybraných funkcí. C2: Elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou.
2. C3: Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Determinanty. Rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce. C4: Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Vlastní čísla a vektory matice.
3. C5: Lineární závislost a nezávislost aritmetických vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, počítání v souřadnicích. C6: Užití skalárního, vektorového a smíšeného součinu v úlohách o přímkách a rovinách.
4. C7: Definiční obory a grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí. Funkce složená. Funkce zadané parametricky. C8: Inverzní funkce. Cyklometrické funkce (grafy, funkční hodnoty, inverze).
5. C9: Polynom, rozklad polynomu v reálném oboru. Znaménko polynomu. Racionální funkce, znaménko racionální funkce. C10: Rozklad racionální funkce v parciální zlomky. Limita posloupnosti. Limita a spojitost funkce.
6. C11: Limita a spojitost funkce. Derivace, pravidla pro derivování, derivace elementárních funkcí, derivace složené funkce. C12: Derivace složené funkce. Geometrický význam derivace. Rovnice tečny a normály ke grafu funkce.
7. C13: Derivace vyšších řádů. Diferenciál. Výpočet diferenciálů vyšších řádů. Taylorův polynom. C14: L` Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce.
8. C15: Průběh funkce. Neurčitý integrál. Integrace úpravou. C16: Integrace metodou substituce.
9. C17: Integrace metodou per-partes. Integrace racionální funkce. C18: Integrace iracionálních funkcí. Integrace goniometrických funkcí.
10. C19: Určitý integrál a integrační metody pro určitý integrál. C20: Kontrolní test. Geometrické aplikace určitého integrálu.
11. C21: Geometrické aplikace určitého integrálu. Technické aplikace určitého integrálu. C22: Definiční obory, parciální derivace. Výpočet parciálních derivací. Diferenciál funkce.
12. C23: Taylorův polynom (včetně diferenciálů vyšších řádů). Lokální extrémy funkce dvou proměnných. C24: Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů. Implicitní funkce jedné proměnné (tečna a normála grafu funkce dané implicitně).
13. C25: Tečná rovina a normála ke grafu funkce dvou proměnných dané implicitně. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. C26: Dokončení látky. Zápočty.