Modelování zvláštních jevů ve vybraných nelineárních dynamických systémech

On the modeling of strange behavior in the selected nonlinear dynamical systems

book

Czech

Předkládaná disertační práce se z větší části zabývá matematickými modely nejjednodušších autonomních deterministických dynamických systémů (ADDS) a výzkumem škály jejich dynamického chování. Vzhledem k tomu, že není možné provést vyčerpávající klasifikaci chaosu všech možných tvarů nelineárních diferenciálních rovnic, je práce soustředěna pouze na po částech lineární (PWL) vektorová pole, skládající se ze dvou nebo ze tří afinních segmentů. Klade si za cíl poskytnout ucelený přehled dosud známých matematických modelů tvořících rozsáhlé skupiny dynamických systémů C, F a L, které mají stejné vlastnosti. Obsahuje také celou řadu nových tvarů matematických modelů a jejich vzájemných souvislostí. Součástí práce je geometrická interpretace jednotlivých vektorových polí a u vybraných systémů nechybí ani specifikace množin jejich parametrů a počátečních podmínek vedoucích k evoluci chaotických atraktorů. Za účelem numerické analýzy studovaných systémů byla vytvořena knihovna funkcí v prostředí Matlab a Mathcad, jejichž stěžejní pasáže jsou vysvětleny ve 4. kapitole. Vybrané chaotické dynamické systémy byly rovněž prakticky realizovány formou elektronických obvodů, chaotických oscilátorů. Jako důkaz jejich správné funkce slouží snímky z osciloskopu, které jsou vhodně porovnané s numerickou či obvodovou simulací programem Pspice. V poslední kapitole je rozebrána koncepce digitálně řízeného chaotického oscilátoru, která odstraňuje některé nevýhody typické pro plně analogovou variantu.

The major part of this dissertation work is focused on the mathematical models of the simplest examples of the autonomous deterministic dynamical systems (ADDS) and the associated research of its possible scale of dynamical motion. Due to the fact, that it is impossible to make a complete classification of chaos exhibited by a general nonlinear differential equations, the aim of this work is a family of the piecewise-linear (PWL) vector fields composed by two or three affine segments. The task is to provide a complete summary of the well-known and new-designed mathematical models belonging to the group of dynamical systems with the same properties, marked by letters C, F and L. Basic description is followed by a detailed study of individual vector fields from a geometrical viewpoint. For some selected dynamical systems the window of internal system parameters and subset of initial conditions leading to the so-called chaotic attractor is also presented. Chapter 4 deals with a Matlab and Mathcad library for numerical analysis, some non-fundamental functions which can confuse the reader will be explained in step-by-step manner. Next chapter contains a circuitry implementation of the selected dynamical systems as an electronic circuits, chaotic oscillators. Each configuration of the circuit will be verified by a gallery of the oscilloscope screenshots as well as by a comparison of these pictures with numerical integration of Pspice circuit simulation. The last chapter suggests a digital control of the chaotic oscillator, removing some disadvantages which are typical for a fully analog conception.

Dynamický systém, chaos, stavový atraktor, vektorové pole, po částech lineární, vlastní čísla, vlastní vektory, invariantní variety, oblast přitažlivosti, Poincarého sekce, citlivostní optimalizace, Ljapunovovy exponenty, bifurkační diagram, obvodová realizace, autonomní oscilátor, praktické měření, digitální řízení.

Dynamical system, chaos, state attractor, vector field, piecewise linear, eigenvalues, eigenvectors, invariant manifolds, basin of attraction, Poincaré sections, sensitivity optimization, Ljapunov exponents, bifurcation diagrams, circuit realization, autonomous oscillator, practical measurement, digital control.

PETRŽELA, J.

10. 1. 2007

1

155

155