Detail předmětu

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice

FEKT-MDREAk. rok: 2016/2017

Předmět je věnován některým důležitým okruhům diferenciálních rovnic a to jak obyčejných diferenciálních rovnic, tak i parciálních diferenciálních rovnic, které nebyly v bakalářském studiu probírány. Z obyčejných diferenciálních rovnic jde například o exaktní rovnice, které jsou souhrnných typem velkého množství rovnic. Je prohloubeno učivo o systémech lineárních diferenciálních rovnic včetně autonomních. Pro rovnice s konstantními koeficienty je uvedena metoda řešení pomocí exponenciály matice. Z aplikačního hlediska jsou důležité i další typy diferenciálních rovnic, kterým je v předmětu věnována pozornost. Mezi ně patří např. Besselovu rovnice a Laplaceovu rovnice. Jedním z centrálních pojmů v aplikacích diferenciálních rovnic je pojem stability, která je v kurzu probírána. Jsou uvedeny některé metody zjišťování stability, pro rovnice s konstantními koeficienty jde např. o Hurwitzovo kriterium a Michajlovovo kriterium. Je zmíněna také metoda Ljapunovovských funkcí, která patří k základním ve vyšetřování stability. Je dána úplná klasifikace rovinných lineárních systémů s konstantními koeficienty ve fázové rovine. V kurzu je hojně využíván maticový počet, pomocí kterého je řada výsledků formulována. Parciální diferenciální rovnice často vyjadřují matematické modely mnoha technických a inženýrských jevů. Mimo jiné budou uvedeny aplikace základních metod řešení (Fourierova metoda a aplikace Fourierových řad, D'Alembertova metoda) na vlnové rovnice, rovnice vedení tepla a Laplaceovu rovnici. Ve cvičeních bude důraz kladen i na použití matematického software při řešení různých typů diferenciálních rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diferenciálních rovnic. Řešení vybraných úloh z oblastí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software. Zásadními výstupy jsou:
1) Umět explicitně řešit základní typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu (separované, lineární, exaktní, Bernoulliova, Cleiro).
2) Schopnost rozboru počáteční úlohy a určení její řešitelnosti.
3) Konstrukce řešení pomocí metody postupných aproximací.
4) Modelování obvodů pomocí lineárních rovnic vyššího řádu a jejich řešení.
5) Řešení systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, pokud je znám fundamentální system řešení.
6) Řešení homogenních systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty metodou vlastních vektorů a metodou exponenciály matice.
7) Konstrukce partikulárních řešení nehomogenních lineárních diferenciálních systémů.
8) Zjišťování stability lineárních systémů diferenciálních rovnic s proměnnými koeficienty a s konstantími koeficienty (spravné použití kriterií stability).
9) Řešení jednoduchých parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
10) Využití metody charakteristik a prvních integrálů při řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
11) Aplikace D’Alembertovy metody na řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu.
12) Využití Fourierovy metody při řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, aplikace Fourierových řad.
13) Podrobná konstrukce řešení vlnové rovnice a rovnice vedení tepla.
14) Laplaceova parciální diferenciální rovnic a její řešení.
15) Formulace Dirichletovy úlohy pro lineární parciální rovnice druhého řádu a jejich řešení.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování zahrnují přednášky a cvičení na počítači. Na přednáškách a cvičeních jsou demonstrovány aplikace diferenciálních rovnic v elektrotechnice, které navazují na obsah předmětu. Důraz je kladen také na samostatnou práci studentů během semestru, například na práci s dostupnou literaturou v rámci přípravy na přednášky a aktivitu během přednášek a během cvičení na počítačích.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé vybrané typy diferenciálních rovnic a také schopnosti správného použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.
Výsledké hodnocení (zkouška) je bodové (0-100 bodů), ze cvičení lze uznat maximálně 30 bodů. Závěrečná zkouška je písemná a lze za ni získat maximálně 70 bodů.

Osnovy výuky

I. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy. Existence řešení. Postupné aproximace. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky. Rovnice vyšších řádů. Řešení lineárních rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
II. Existence a jednoznačnost řešení systémů diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Obecné vlastnosti řešení a jeho struktura. Přenosová matice. Řešení počáteční úlohy užitím přenosové matice. Lineární systémy s konstantními koeficienty (homogenní systémy - eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, využití exponenciály matice, Putzerův algoritmus řešení, nehomogenní systémy - metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů lineárními systémy.
III. Stabilita řešení systémů diferenciálních rovnic. Autonomní systémy. Ljapunovova přímá metoda pro autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda pro neautonomní systémy. Stabilita lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium. Michajlovovo kritérium. Stabilita podle lineární aproximace. Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty a případy stability.
IV. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční úloha. Nejjednodušší typy rovnic. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
V. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných a aplikace Fourierových řad.

Učební cíle

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic (např. s metodou řešení lineárních systémů s konstantními koeficienty pomocí exponenciály matice, s metodami pro řešení některých typů parciálních diferenciálních rovnic - Fourierova metoda a aplikace Fourierových řad, D'Alembertova metoda), ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení (např.při zjišťování stability řešení). Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu. Nutnými podmínkami k udělení zápočtu jsou - pravidelná účast na cvičeních, nenulové hodnocení půlsemestrální písemné práce a úspěšný závěrečný písemný test.

Základní literatura

Kuben, J., Obyčejné dferenciální rovnice, VA Brno, 2004

Doporučená literatura

Aramanovič, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E., Funkcie komlexnej premennej, operátorový počet, teória stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973
Myslík, J., Elektrické obvody, BEN - Technická literatura, Praha 1997

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program AUDIO-P magisterský navazující

    obor P-AUD , 1. ročník, zimní semestr, volitelný mimooborový

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-EEN , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M magisterský navazující

    obor M-EEN , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor M-EST , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-EST , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M magisterský navazující

    obor M-EVM , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-EVM , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M magisterský navazující

    obor M-KAM , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-KAM , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-MEL , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M magisterský navazující

    obor M-MEL , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-SVE , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M magisterský navazující

    obor M-SVE , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor M-TIT , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-TIT , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-CZV celoživotní vzdělávání (není studentem)

    obor ET-CZV , 1. ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Diferenciální rovnice prvního řádu.
2. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky.
3. Rovnice vyšších řádů. Řešení rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
4. Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Přenosová matice.
5. Lineární systémy s konstantními koeficienty (eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, exponenciála matice, Putzerův algoritmus řešení, metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů
6. Stabilita. Autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda.
7. Stabilita lineárních systémů. Kritéria stability. Stabilita podle lineární aproximace. 8.Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty. 9. Limitní cykly, periodická řešení. Kritéria periodicity. Aplikace.
10. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu.
11. Počáteční úloha. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
12. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha.
13. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných.
Ilustrace pojmů a metod pomocí moderního matematického software.

Cvičení na počítači

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Přesná řešení rovnic prvního řádu a vyšších řádů. Směrová pole diferenciálních rovnic. Přibližné řešení rovnic prvního řádu a vyšších řádů. Popis elektrických obvodů diferenciálními rovnicemi. Van der Poolova rovnice. Řešení ve tvaru nekonečných řad. Besselova rovnice, Besselovy funkce. Diskuse předností a slabin matematického software. Analýza dvourozměrného lineárního dynamického systému. Algoritmy řešení vícerozměrného lineárního systému s konstantními koeficienty. Kriteria stability, softwarové rozhodování o stabilitě. Parciální rovnice prvního řádu. Softwarové řešení základních typů parciálních rovnic druhého řádu.