Detail předmětu

Pochopit do hloubky základy numerického řešení PDR pro aplikaci v elektrotechnice.
Seznámit se s novými aplikacemi s využitím MKP a MKD v optimalizačních a inverzních úlohách.

Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.

Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.

Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR). Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Celkové hodnocení předmětu 100 bodů.

Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
Metoda konečných diferencí (MKD).
Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
Sdružené úlohy.
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
Použití inverzních úloh v tomografii.
Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.

Vymezení kontrolované výuky stanoví garant předmětu.

Rektorys Karel: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, 1995
Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP http://www.inverse-problems.com/
IEEE Transactions on Magnetics, ročník 1996 a výše
Fotokopie nejnovějších výzkumných zpráv ze serverů zahraničních špičkových pracovišť ke studované problematice budou dodávány průběžně
SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 1996 a výše
metoda hladinových množin http://www.math.ucla.edu/applied/cam/index.html
Dědek, L., Dědková J.: Elektromagnetismus. Skripta VUTIUM Brno, 2000
Inverse Problems. IoP Electronic Journals, http://www.iop.org/EJ/journal/IP
Bossavit Alain.: Computational Electromagnetism – Variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press, 1998
Sadiku Mathew: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001
Chari, M, V. K., Salon S. J.: Numerical Methods in Electromagenetism. Academic Press, 2000