Detail předmětu

Diskrétní a diferenční rovnice jsou matematickou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení těchto rovnic a ukázat způsoby jejich aplikování. Proto je pozornost věnována aplikačním příkladům a využití při studiu stability procesů, jejich řiditelnosti
a pozorovatelnosti.

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diskrétních a diferenčních. Řešení úloh z oblastí, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software.

Jsou požadovány znalosti na úrovni bagalářského a magisterského studia.

Předmět je věnován popisu procesů pomocí diskrétních rovnic. Je tvořen třemi celky:
a)základním aparátem a základními metodami analýzy diskrétních procesů,
b)aplikacemi diferenčních rovnic a rozhodování o stabilitě procesů,
c)aplikacemi diferenčních rovnic při řízení procesů.

Podrobněji je osnova předmětu popsána v bodě "Osnova". Předmět je vhodný pro studentky a studentky doktorského studia, kteří při své práci používají diskrétní a diferenční vztahy a rovnice a numerické algoritmy. Jako příklad lze uvést použití pro matematické modelování jevů v nanotechnologiích, teorii řízení a při zpracování signálů.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé typy diferenciálních rovnic a použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.

I. Základní aparát a základní metody vyšetřování diskrétních procesů (5 týdnů).
Diskrétní počet (vybrané diferenční vztahy na základě spojitých analogií). Diferenční rovnice a systémy. Základní pojmy, užívané v diskrétních rovnicích (rovnovážné body, periodické body, body potenciálně rovnovážné a potenciálně periodické, stabilita řešení, přitahující a odpuzující body) a jejich ilustrace na příkladech (modelování obvodů diskrétními rovnicemi, přenos informace). Rekurzivní algoritmy řešení systémů diskrétních rovnic a rovnic vyšších řádů (případ konstantních koeficientů, metoda variace parametrů, metoda neurčitých koeficientů). Počítačová konstrukce obecného řešení. Transformace některých nelineárních rovnic na lineární. Diferenční rovnice sestavované na bází vzorkování, impulsové podněty, výpočet charakteristik z odezvy signálu (odezva Diracovy distribuce), přechodné děje.
II. Aplikace diferenčních rovnic – stabilita procesů (4 týdny).
Stabilita rovnovážných bodů. Typy stability a nestability. Stabilita lineárních systémů s proměnnou maticí. Stabilita nelineárních systémů podle lineární aproximace. Ljapunovova přímá metoda pro zjištění stability. Fázová analýza dvourozměrného diskrétního systému s konstantními koeficienty, klasifikace rovnovážných bodů.
III. Aplikace diferenčních rovnic - řízení procesů (4 týdny).
Diskrétní ekvivalenty spojitých systémů. Diskrétní teorie řízení (řiditelnost, úplná řiditelnost, matice řiditelnosti, kanonické tvary řiditelnosti, řiditelná kanonická forma, konstrukce algoritmu řízení). Pozorovatelnost (úplná pozorovatelnost, nepozorovatelnost, princip duality, matice pozorovatelnosti, kanonické tvary pozorovatelnosti, vztah řiditelnosti a pozorovatelnosti). Stabilizace řízení dle zpětné vazby.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Saber, Elaydi, N., An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1996.
Diblík, J., Růžičková, I., Discrete Processes in Electrical Engineering, Studijní modul, Brno, 2005.