Detail předmětu

Cílem je získat základní znalosti o Fourierových řadách a Fourierově transformaci, jejich významu a apliklacích. Dalším cílem je seznámit se ze základy teorie fraktálů a jejich aplikacemi a dále s aparátem tensorových polí a jejich aplikacemi.

Absolvováním kurzu student získá základní poznatky o Fourierových řadách, Fourierově transformaci a aplikacích zejména ve spektroskopii. Dále získá základní informace o parciálních diferenciálních rovnicích a jejich aplikacích včetně základních numerických metod pro jejich řešení. Základní znalosti dále o tensorech a tensorových polích včetně aplikací.

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základní pojmy teorie metrických prostorů.

Nekonečné řady - číselné, funkční, kritéria konvergence. Mocninné a Taylorovy řady. Věta o integraci a derivaci člene po členu, využití pro integraci funkcí, které nejsou elementárně integrovatelné. Řešení diferenciálních rovnic technikou mocninných řad. Elementární funkce komplexní proměnné, Eulerovy vzorce. Pojem reálné a komplexní harmonické funkce, trigonometrické polynomy. Fourierovy trigonometrické polynomy, fyzikální význam. Fourierovy trigonometrické řady, podmínky konvergence a regularity. Fyzikální význam. Jednorozměrná rovnice vedení tepla (rovnice difúze) a její řešení s využitím Fourierových řad. Fourierova transformace a její fyzikální význam. Slovník Fourierovy transformace a věta o konvoluci. Diracova funkce, její definice ve smyslu distribuce. Využití pro signály s periodickou složkou. Informace o aplikaci ve spektroskopii (apodizační křivky, metody dekonvoluce, rozlišitelnost). Diskrétní a rychlá Fourierova transformace.
Lineární a kvazilineární parciální diferenciální rovnice 1. řádu a jejich soustavy, fyzikální motivace. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu, Rovnice potenciálu, vlnová a tepelná. Dirichletovy, Neumannovy a Newtonovy okrajové podmínky a jejich fyzikální příklady. Numerické metody pro jejich řešení - metoda Ritzova, Galerkinova metoda konečných prvků.
Tensory a tensorová pole, jako prostředek k vyjádření lineární závislost skalární či vektorové veličiny na jiných vektorových veličinách (tensor polarizovatelnosti, napětí, deformace, torze, elektromagnetického pole), tensorový tvar fyzikálních zákonů. Informativně metrický tensor, obecně relativistický časoprostor. Pojem hladké variety a tensorového pole na varietách. Operace na tensorových polích indukované metrickým tensorem, kovariantní derivace, Hamiltonův operátor v obecně relativistickém prostoru.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Zkouška se skládá z části testové a ústní. Celkové hodnocení předmětu je dáno zkouškou.

1. Číselné a funkční nekonečné řady
2. Elementární komplexní funkce reálné a komplexní proměnné, Eulerovy vzorce
3. Pojem harmonické funkce a trigonometrického polynomu, Fourierův trigonometrický polynom
4. Fourierovy trigonometrické řady, aplikace
5. Fourierova transformace, aplikace ve spektroskopii
6. Základní pojmy z teorie parciálních diferenciálních rovnic, některé typy PDE 1. a 2. řádu.
7. Základní numerické metody pro řešení některých typů PDE.
8. Tensory a tensorová pole, základní operace, fyzikální aplikace, příklady.
8. Informativně pojem hladké variety, kovariantní derivace tensorových polí, aplikace v obecné teorii relativity.

Účast na přednáškách je nepovinná.

Havelka, J. Veverka, J.: Matematika - Dif. rovnice - Nekonečné řady
Novák, V.: Nekonečné řady, skripta Přf MU
Bouchala, J.: Funkce komplexní proměnné, VŠB TU Ostarva, ZČU Plzeň
Novák, V.: Analýza v komplexním oboru, skripta Přf. MU
Koukal S., Křížek M., Potůček R.: Fourierovy trigonometrické řady a metoda konečných prvků v komplexním oboru. Academia, Praha 2002.
Kropáč, J., Kuben, J.: Funkce gamma a beta, transformace Laplaceova, Z a Fourierova, VA Brno
Klíč A., Volek K., Dubcová M.: Fourierova transformace. VŠCHT v Praze, Praha 2002.
Klíč A., Dubcová M.: Základy tensorového počtu s aplikacemi. VŠCHT v Praze, Praha 1998.
Doupovec M.: Diferenciální geometrie a tensorový počet. FSI VUT Brno, Brno 1999.
Eliáš, J., Horváth, J., Kajan, J., Šulka, R.: Zbierka úloh z vyššej matematiky IV, 1972
Feymann R. P., Leighton R. B., Sands M.: Feynmannove prednášky z fyziky, 3. díl. Alfa Bratislava (Addison-Wesley Publ. Comp.), Bratislava 1966.
Griffiths P. R.: Chemical Infrared Fourier Transform Spectroscopy. John Wiley, New York 1975.
http://www.fce.vutbr.cz/elearning
http://fce.vutbr.cz/elearning
http://fce.vutbr.cz/elearning
http://www.vutbr.cz/elearning
http://mathonline.fme.vutbr.cz
Kowalski O.: Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1995.
http://www.vutbr.cz/elearning